Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

FACTORES PRIMOS DE NÚMEROS an + bn

 

CARACTERIZACION DE LOS FACTORES DE LA SUMA DE DOS NUMEROS ENTEROS ELEVADOS A UNA MISMA POTENCIA

RESUMEN

Entre otras aportaciones, en estas notas damos un criterio de caracterización de los posibles factores primos de los números de la forma \( (a^p \pm b^p) \) .

DESARROLLO

El resultado básico de estas notas es el siguiente :

TEOREMA

Sea p un número primo no divisor de \( (a\pm b) \) y sea mcd(a,b) = 1; entonces los factores primos de \( (a^p \pm b^p) \) que no estén contenidos en \( (a\pm b) \) , sólo pueden ser de la forma (2mp + 1)\( 2mp + 1 \).

Demostración

Por la teoría de series geométricas sabemos que se tiene (1) :
    \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}a^j = \frac{a^n-1}{a-1} \Rightarrow a^n-1 = (a-1)\left(\sum_{i=0}^{n-1}a^i\right) \)
Sustituyendo \( a \) por\( (a/b) \) y quitando denominadores resulta (2):
    \(\displaystyle a^n - b^n = (a-b) \sum_{i=0}^{n-1}a^i·b^{n-1-i} \)
Si consideramos un número primo impar, p, podemos poner(3):
    \( \displaystyle a^p \pm b^p = (a\pm b)\left( \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^{p-1-i} a^i·b^{p-1-i}\right)\)
Y los dos factores del segundo miembro son primos entre si como demostramos (*) a continuación sin pérdida de generalidad para (a + b) . Sea q un factor primo de (a + b) ; en ese caso tenemos(4):
    \(a+b \equiv 0 \; (mod \; q)\Rightarrow b\equiv -a \; (mod \; q) \)
y recordando que p es impar:
    \(D =\displaystyle \left( \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^{p-1-i} a^ib^{p-1-i}\right)= a^{p-1}+ \begin{array}{c} p \\ \cdots
    \end{array} a^{p-1} \; (mod \; q) = p·a^{p-1} \; (mod \; q) \)
Como q es un factor primo de (a + b) y mcd(a, b) = 1, q no es divisor de a y tenemos \(a^{p-1} \neq 0\; (mod \; q)\) . Por otro lado, q no puede ser igual a p puesto que, por hipótesis, p no es divisor de (a + b) y mcd(p, q) = 1, puesto que ambos son primos.
Tenemos entonces \(D \neq 0\; (mod \; q)\) y, por consiguiente, mcd(D, a+b) = 1
Por otro lado, según el pequeño teorema de Fermat , tenemos (1):
    \( a^p \equiv a \; (mod \; q)\;;\; b^p\equiv b \; (mod \; q)\)
y por las propiedades de las congruencias:
    \(a^p \pm b^p \equiv (a \pm b) \; (mod \; q) \)
Por lo que, según la ley de simplificación de las congruencias, cuando es primo con p, podemos escribir (4):
    \( \displaystyle \frac{a^p \pm b^p}{a \pm b} \equiv 1 \; (mod \; p) \Leftrightarrow \frac{a^p \pm b^p}{a \pm b}= k·p + 1 \)
Además tenemos :
Si \( (a\pm b) \) es impar entonces a y b son de distinta paridad . Tomando, por ejemplo, a par, resulta:
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    a \equiv 0 \; (mod \; 2)\Rightarrow a^p \equiv 0 \; (mod \; 2) \\
    \\
    b \equiv 1 \; (mod \; 2)\Rightarrow b^p \equiv 1 \; (mod \; 2) \\
    \end{array}
    \right\} a^p + b^p \equiv 1 \; (mod \; 2) \Rightarrow (a^p + b^p) \;impar \)
Con ese resultado tenemos :
    \(a^p + b^p = (a\pm b)(kĚp+1)\qquad \)impar = impar x impar → par → k par
Si \( (a\pm b) \)es par entonces a y b son de la misma paridad, pero como mcd (a, b) = 1, ambos deberán ser impares. De ahí que la cantidad (5):
    \(D =\displaystyle \left( \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^{p-1-i} a^ib^{p-1-i}\right) \)
Sea una combinación de p (impar) sumandos impares y, por lo tanto, un número impar. En cualquier caso podemos poner (6):
    \( \displaystyle \frac{a^p \pm b^p}{a \pm b}= k·p + 1 \)
Si \(2ĚmĚp + 1\) es primo, queda demostrado lo que nos proponíamos cuando \( (a\pm b) \)es primo con p; si no lo es, sea q un factor primo suyo. Por una parte, tendremos:
    \( \displaystyle \frac{a^p \pm b^p}{a \pm b}\equiv 0 \; (mod \; q) \Rightarrow a^p \pm b^p \equiv 0 \; (mod \; q) \)
y a partir de ahí (7):
    \(a^p \equiv \pm b^p \; (mod \; q)\Rightarrow (ma)^p \equiv \pm b^p \; (mod \; q) \)
y por otra (8):
    \(\displaystyle \begin{array}{c}
    (k_1q)^p \equiv (k_2q)^p\; (mod \; q) \\
    \left(
    \begin{array}{c}
    p \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)(k_1q)^{p-1}m·a \equiv \pm \left(
    \begin{array}{c}
    p \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)(k_2q)^{p-1}m·b \; (mod \; q) \\
    \cdots\; \cdots \;\cdots \\
    \left(
    \begin{array}{c}
    p \\
    p-1 \\
    \end{array}
    \right)(k_1q)(m·a)^{p-1} \equiv\pm \left(
    \begin{array}{c}
    p \\
    p-1 \\
    \end{array}
    \right)(k_2q)(m·b)^{p-1} \; (mod \; q)
    \end{array} \)
Sumando miembro a miembro la última congruencia de (7) y todas las de (8) tenemos:
    \((k_1q + m.a)^p \equiv (k_2q \pm m.b)^p \; (mod \; q) \)
Cómo k2 y m son arbitrarios, siempre podremos elegirlos para que se cumpla \(k_2q \pm m.b = 1\) con lo cual (9):
    \( \displaystyle \left(k_1q \pm \frac{1-k_2q}{b}a\right)^p \equiv 1 \; (mod \; q) \)
Ahora bien, según el pequeño teorema de Fermat, al ser q primo, podemos escribir (10):
    \(\displaystyle \left(k_1q \pm \frac{1-k_2q}{b}a\right)^{p-1} \equiv 1 \; (mod \; q) \)
con lo que tenemos que los números dados por (9) y (10) pertenecen a la misma clase (mod q) y, por tanto, de acuerdo con el teorema de Lagrange sobre el orden de los elementos de un grupo finito [2], se cumplirá (11) :
    \(q-1 = 2k·p \Rightarrow q = 2k·p + 1 \)
Por otro lado, si tenemos (12):
    \((a \pm b) = n·p^\gamma \)
Entonces, se cumple (13):
    \(a^p \pm b^p \equiv 0 \; (mod \; p^{\gamma+1}) \)
Para ver que ello es así, sustituimos (12) en (3) para obtener:
    \(\begin{array}{c} a^p \pm b^p = (nĚp^\gamma)[a^{p-1} \pm a^{p-2}(a\pm nĚp^\gamma)\pm a^{p-2}(a\pm nĚp^\gamma)^2 \pm ... \\ ... \pm a(a\pm nĚp^\gamma)^{p-2}\pm (a\pm nĚp^\gamma)^{p-1}] \\ \end{array} \)
Pero, teniendo en cuenta el desarrollo de los binomios internos al corchete :
    \(\begin{array}{c} a^p \pm b^p = (nĚp^\gamma)[a^{p-1} \pm (a^{p-1}+ \alpha_1·p)+(a^{p-1}+ \alpha_2·p) \pm ... \\ ... \pm (a^{p-1}+ \alpha_{p-2}·p) + (a^{p-1}+ \alpha_{p-1}·p)] \\ \end{array} \)
y reordenando términos :
    \(\displaystyle a^p \pm b^p = (n·p^\gamma)\left[\sum_{i=1}^p(\pm 1)^{i-1}a^{p-1} + p\sum_{i=1}^p\alpha_i \right] \)
La expresión\( \displaystyle \sum_{i=1}^p(\pm 1)^{i-1}a^{p-1}\) vale 0 cuando tomamos signo (-), puesto que los sumando se anulan dos a dos, o \( p·a^{p-1} \) cuando tomamos signo (+). En cualquier caso:
    \(\displaystyle a^p \pm b^p = (n·p^\gamma)\left[p\left\{\begin{array}{c}
    a^{p-1} \\ 0 \end{array} + \sum_{i=1}^p\alpha_i
    \right\} \right] = (n·p^{\gamma+1})\left[\left\{\begin{array}{c}
    a^{p-1} \\ 0 \end{array} \right\} + \sum_{i=1}^p\alpha_i \right] \)
como queríamos demostrar, llegando así a la tesis planteada.
Es fácil ver que si el exponente de (6) no es un número primo, entonces dicha expresión será siempre un número compuesto, tal como se deduce, por ejemplo, de la proposición 2 de [4].

EJEMPLO 1 .- Los números de la forma (20): \(2^p-1\), con p primo, son llamados números de Mersenne.
Para p < 100, tenemos :
    \(2^3-1\) = (2 * 3 + 1)
    \(2^5-1\) = (2 *3* 5 + 1)
    \(2^7-1\) = (2 *32* 7 + 1)
    211 - 1 = (2 * 11 + 1)(2 *22* 11 + 1)
    213 - 1 = (2 *32*5*7* 13 + 1)
    217 - 1 = (2 *3*5*257* 17 + 1)
    219 - 1 = (2 *33*7*73* 19 + 1)
    223 - 1 = (2 * 23 + 1)(2 *23*5*97* 23 + 1)
    229 - 1 = (2 *22* 29 + 1)(2 *19* 29 + 1)(2 *22*32* 29 + 1)
    231 - 1 = (2 *32*7*11*151*331* 31 + 1)
    237 - 1 = (2 *3* 37 + 1)(2 *24*3*167*1039* 37 + 1)
    241 - 1 = (2 *163* 41 + 1)(2 *22*59*8501* 41 + 1)
    243 - 1 = (2 *5* 43 + 1)(2 *113* 43 + 1)(2 *32*2713* 43 + 1)
    247 - 1 = (2 *52* 47 + 1)(2 *24*3* 47 + 1)(2 *23*31*569* 47 + 1)
    253 - 1 = (2 *22*3*5* 53 + 1)(2 *5*131* 53 + 1)(2 *24*52*13*37* 53 + 1)
    259 - 1 = (2 *52*61* 59 + 1)(2 *23*421*8060489* 59 + 1)
    261 - 1 = (2 *32*52*7*11*13*31*41*151*331*1321* 61 + 1)
    267 - 1 = (2 *22*33*5*2677* 67 + 1)(2 *32*29*2551*8539* 67 + 1)
    271 - 1 = (2 *1609* 71 + 1)(2 *22*5*17093* 71 + 1)(2 *22*3*17*7349* 71 + 1)
    273 - 1 = (2 *3* 73 + 1)(2 *22*5*787* 73 + 1)(2 *25*19*105465631* 73 + 1)
    279 - 1 = (2 *17* 79 + 1)(2 *3*7*60889* 79 + 1)(2 *821*8583937* 79 + 1)
    283 - 1 = (2 * 83 + 1)(2 *22*5*383*4049*11248342573613* 83 + 1)
    289 - 1 = (2 *3*5*17*23*353*397*683*2113*2931542417* 89 + 1)
    297 - 1 = (2 *59* 97 + 1)(2 *22*1297*13753593975618284111* 97 + 1)

En [8] y [9] se demuestra que para todos los primos p congruentes con 3 módulo 4, si q = 2p+1 es primo, el correspondiente número de Mersenne Mp es compuesto. De ese modo hemos obtenido los factores para M11 y M23, respectivamente 2x11+1 = 23 y 2x23+1 = 47.

EJEMPLO 2 .- Sabemos que un número cuyas cifras en expresión decimal son todas iguales a 1, puede escribirse en la forma (10n-1)/9 donde n indica el número de cifras. Se demuestra en [3] que n tiene que ser primo cuando la expresión anterior da un número primo
Así pues, con referencia a la cuestión planteada en [1] sobre si existe una infinidad de primos cuyas cifras en expresión decimal son todas igual a 1, podemos decir que una condición necesaria, aunque no suficiente para que uno de tales números sea primo es que su número de cifras sea primo y, en todo caso, sus posibles factores serán de la forma 2m.p + 1 donde p es el número de cifras. Para p < 100, tenemos :
    11 → primo
    111 = 3 x 37
    11111 = 41 x 271
    1111111 = 239 x 4649
    11111111111 = 21649 x 513239
    1111111111111 = 53x79x(2x2x72x104109x13+1)
    11111111111111111 = 2071723 x 5363222357
    1111111111111111111 → primo
    11111111111111111111111 → primo
    11111111111111111111111111111 = 3191 x 16763 x 43037 x 62003 x 77843839397
    1111111111111111111111111111111 = 2791 x 6943319 x 57336415063790604359
    1111111111111111111111111111111111111 =
    2028119x247629013x(2x2x3203x4667065286703773x37+1)

Como para el caso de los números de Mersenne, en [8] y [9] se demuestra que para todos los primos p congruentes con 1 ó 13 ó 19 módulo 20, si q = 2p+1 es primo, el correspondiente repunit es compuesto. De ese modo hemos obtenido los factores para RP41, RP53 y RP761, respectivamente 2x41+1 = 83, 2x53+1 = 107 y 2x761+1 = 1523.

CRIBA DE SUNDARAM DE ORDEN p
La criba de Sundaram es un método alternativo a la criba de Eratóstenes, [5], [6], para encontrar números primos. El método expuesto en [7] puede generalizarse para ver si un número de la forma (21).
    \(N = 2p·m + 1\)
con p primo, es primo. Ello tiene aplicación en la búsqueda de factores de números como \( (a^p \pm b^p) \).
Consideremos una matriz Ap cuyo elemento aij se obtiene mediante la expresión (22):
    \(A_{ij} = 2p·i·j + i+ j\)
Sea m un elemento de Ap asociado a un número N mediante la ecuación (21). En esas condiciones tenemos (23):
    \(N = 2p[2p·u·v + u + v] + 1= (2p·u+1)(2p·v+1)\)
y, por lo tanto, N es compuesto.
Consideremos ahora la expresión como (5), demostraremos ahora que si un número así no es primo, entonces m es un elemento de Ap. Supongamos que se tiene :
    \(2p·m+1 = x·y\)
con x e y enteros de la forma (12). Resultará (24):
    \(2p·m+1 = x·y = (2p·i+1)(2p·j+1)= 2p(2ij·p + i+j) + 1\)
con lo cual (25):
    \(m = 2i·j·p+ i+j\)
lo que significa que m es el i-ésimo número de la j-ésima fila de la matriz Ap.

BIBLIOGRAFIA


1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté
2.- Biggs, L. N. Matemática Discreta, Editorial Vicens Vives.
3.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas de matemática discreta, Ed A.V.L.
4.- J. A. Hervás. Criterios de Divisibilidad
5.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V.
6.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori.
7.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler editores.
8.- Beiler, A. H., Recreations in the theory of numbers
9.- J. A. Hervás, Aplicaciones de los residuos cuadráticos.

(*) Nuestro agradecimiento al Profesor Ignacio Larrosa Castreño por su imprescindible ayuda en la obtención de la demostración de la coprimalidad de los dos factores considerados.
┐Te han sido de utilidad estos apuntes sobre sobre la factorización de números de la forma an + bn?.- íRecomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:


 


tema escrito por: José Antonio Hervás