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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

FACTORES PRIMOS DE NÚMEROS DE FERMAT

 

DEDUCCIÓN DE FACTORES PRIMOS DE NÚMEROS DE FERMAT Y SIMILARES.

RESUMEN

En estas notas damos un criterio de caracterización de los posibles factores primos de los números de la forma

números de Fermat(1)

DESARROLLO

El resultado básico de estas notas es el siguiente :

TEOREMA

Si a y b son números enteros, primos entre sí, se cumple que todos los factores primos de números de Fermatson de la forma 2n+1·k + 1 salvo cuando a y b son impares en cuyo caso, también el 2 es un factor de dicha expresión.

Demostración

Vamos a considerar dos casos diferenciados :

1º) Cuando a y b son ambos impares

2º) Cuando uno de los dos, a ó b, es par.
En el primer caso tenemos que demostrar que para cualquier número impar se cumple :

números de Fermat(2)

Con lo cual tendríamos :

números de Fermat

De modo que si la expresión entre paréntesis fuera un número primo habríamos llegado al resultado deseado.

Veamos entonces que para cualquier número impar a se verifica (2) . Lo demostramos por inducción. Para n = 1, tenemos :
números de Fermat

y para cualquier valor de k, k(k+1) es un número par, con lo cual :
números de Fermat

Supongamos ahora que se cumple lo anterior para un valor n; podemos hacer :

números de Fermat

Pero como 2n+2 divide a números de Fermat, sólo tenemos que demostrar que 2 es divisor de números de Fermat, lo cual es evidente por ser a un número impar. Por lo tanto, según el principio de inducción, podemos decir que para todo a impar y para todo n natural se cumple (2).

Si uno de los dos sumandos, por ejemplo a, es par, tenemos :

números de Fermat

Supongamos que q es un factor primo impar de (1) ; tendremos :

números de Fermat

y, por las propiedades de las congruencias :

números de Fermat(3)

También podemos poner:

números de Fermat

y sumando todas las congruencias anteriores a partir de (3) :

números de Fermat

Como k2 y m son arbitrarios, podemos elegirlos para que la expresión entre paréntesis de la derecha valga 1. De ese modo :

números de Fermat

Ahora bien, según el pequeño teorema de Fermat, al ser q primo, podemos escribir :

números de Fermat

Y según el teorema de Lagrange sobre el orden de los elementos de un grupo finito :

números de Fermat

y hemos demostrado lo que nos proponíamos.

Los números de Fermat, llamados así en honor de Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, conocido sobre todo por su famoso “último teorema” y uno de los fundadores de la teoría de números, son un subconjunto de (1) que se obtiene al dar valores naturales a n en la expresión :

números de Fermat(4)

Fermat conjeturó que todos los números de la forma (4) eran números primos, pero Leonhard Euler demostró en 1732 que eso no era cierto al obtener para n = 5 un número compuesto :

números de Fermat

En el desarrollo de sus trabajos en relación con los números de Fermat, Euler ya demostró para dichos números el teorema aquí expuesto. Posteriormente, Lucas, en 1878, demostró que los factores primos de los números de Fermat son realmente de la forma :

números de Fermat

BIBLIOGRAFIA

1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

2.- A. Vera y R. Esteban. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

3.- J. A. Hervás. Criterios de Divisibilidad

4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V.

5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori.

6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler editores.

7.- Beiler, A. H., Recreations in the theory of numbers

8.- J. A. Hervás, Aplicaciones de los residuos cuadráticos.
 

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tema escrito por: José Antonio Hervás