De modo que si la expresión entre paréntesis fuera un número primo habríamos llegado al resultado deseado.

Veamos entonces que para cualquier número impar a se verifica (2) . Lo demostramos por inducción. Para n = 1, tenemos :

y para cualquier valor de k, k(k+1) es un número par, con lo cual :

Supongamos ahora que se cumple lo anterior para un valor n; podemos hacer :

Pero como divide a , sólo tenemos que demostrar que 2 es divisor de , lo cual es evidente por ser a un número impar. Por lo tanto, según el principio de inducción, podemos decir que para todo a impar y para todo n natural se cumple (2).

Si uno de los dos sumandos, por ejemplo a, es par, tenemos :

Supongamos que q es un factor primo impar de (1) ; tendremos :

y sumando todas las congruencias anteriores a partir de (3) :

Como k2 y m son arbitrarios, podemos elegirlos para que la expresión entre paréntesis de la derecha valga 1. De ese modo :

Ahora bien, según el pequeño teorema de Fermat, al ser q primo, podemos escribir :

Y según el teorema de Lagrange sobre el orden de los elementos de un grupo finito :

y hemos demostrado lo que nos proponíamos.

Los números de Fermat, llamados así en honor de Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, conocido sobre todo por su famoso “último teorema” y uno de los fundadores de la teoría de números, son un subconjunto de (1) que se obtiene al dar valores naturales a n en la expresión :

(4)

Fermat conjeturó que todos los números de la forma (4) eran números primos, pero Leonhard Euler demostró en 1732 que eso no era cierto al obtener para n = 5 un número compuesto :

En el desarrollo de sus trabajos en relación con los números de Fermat, Euler ya demostró para dichos números el teorema aquí expuesto. Posteriormente, Lucas, en 1878, demostró que los factores primos de los números de Fermat son realmente de la forma :

BIBLIOGRAFIA