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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

FACTORES PRIMOS DE NÚMEROS DE FERMAT

 

DEDUCCIÓN DE FACTORES PRIMOS DE NÚMEROS DE FERMAT Y SIMILARES

RESUMEN

En estas notas damos un criterio de caracterización de los posibles factores primos de los números de la forma
    \(a^{2^n} b^{2^n}\qquad \)(1)
DESARROLLO

El resultado básico de estas notas es el siguiente :

TEOREMA

Si a y b son números enteros, primos entre sí, se cumple que todos los factores primos de \( (a^{2^n} + b^{2^n}) \) son de la forma \( k·2^{n+1} + 1 \) salvo cuando a y b son impares en cuyo caso, también el 2 es un factor de dicha expresión.

Demostración

Vamos a considerar dos casos diferenciados :
1º) Cuando a y b son ambos impares

2º) Cuando uno de los dos, a ó b, es par.
En el primer caso tenemos que demostrar que para cualquier número impar se cumple :
    \(a^{2^n} \equiv 1 \; (mod \; 2^{n+2})\qquad \qquad \)(2)
Con lo cual tendríamos :
    \(\begin{array}{l}
    \left(a^{2^n} + b^{2^n}\right)= (1+ k_a·2^{n+2})+ (1+
    k_b·2^{n+2})= \\
    = 2+(k_a+k_b)·2^{n+2} = 2(1+k·2^{n+1})
    \end{array} \)
De modo que si la expresión entre paréntesis fuera un número primo habríamos llegado al resultado deseado.

Veamos entonces que para cualquier número impar a se verifica (2) . Lo demostramos por inducción. Para n = 1, tenemos :
    \(a^2-1 = (a+1)(a-1) = (2k+2)2k = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)\)
y para cualquier valor de k, k(k+1) es un número par, con lo cual :
    \(a^2 - 1 = 8·k' \rightarrow a^{2^1}\equiv 1 \; (mod \; 2^{n+2})\)
Supongamos ahora que se cumple lo anterior para un valor n; podemos hacer :
    \(a^{2^{n+1}}-1 = (a^{2^n}-1)(a^{2^n}+1) \)
Pero como\(2^{n+2} \) 2n+2 divide a \(a^{2^n}-1 \) , sólo tenemos que demostrar que 2 es divisor de \(a^{2^n}+1 \) , lo cual es evidente por ser a un número impar. Por lo tanto, según el principio de inducción, podemos decir que para todo a impar y para todo n natural se cumple (2).

Si uno de los dos sumandos, por ejemplo a, es par, tenemos :
    \( \begin{array}{l} \left(a^{2^n} + b^{2^n}\right)=2^{2^n}k_a^{2^n} + (1 + k_b2^{n+2})= \\ = 1 + (2^{2^n-1}k_a^{2^n} + k_b2)2^{n+1} = 1 + k·2^{n+1} \end{array} \)
Supongamos que q es un factor primo impar de (1) ; tendremos :
    \(\begin{array}{l} a^{2^n} + b^{2^n} \equiv 0 \; (mod \; q)\rightarrow \left(a^{2^n} + b^{2^n}\right) \left(a^{2^n} - b^{2^n}\right) \equiv \\ \equiv 0 \; (mod \; q)\rightarrow \left(a^{2^n+1} - b^{2^n+1}\right) \equiv 0 \; (mod \; q) \end{array}\)
y, por las propiedades de las congruencias :
    \((ma)^{2^n+1} \equiv (mb)^{2^n+1}\; (mod \; q) \qquad \qquad \)(3)
También podemos poner:
    \(\displaystyle \begin{array}{c}
    (k_1q)^{2^{n+1}} \equiv (k_2q)^{2^{n+1}}\; (mod \; q) \\
    \left(
    \begin{array}{c}
    p \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)(k_1q)^{2^{n+1}-1}m·a \equiv \left(
    \begin{array}{c}
    2^{n+1} \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)(k_2q)^{2^{n+1}-1}m·b \; (mod \; q) \\
    \cdots\; \cdots \;\cdots \\
    \left(
    \begin{array}{c}
    2^{n+1} \\
    2^{n+1}-1 \\
    \end{array}
    \right)(k_1q)(m·a)^{2^{n+1}-1} \equiv \left(
    \begin{array}{c}
    2^{n+1} \\
    2^{n+1}-1 \\
    \end{array}
    \right)(k_2q)(m·b)^{2^{n+1}-1} \; (mod \; q)
    \end{array} \)
y sumando todas las congruencias anteriores a partir de (3) :
    \((k_1+m·a)^{2^n+1} \equiv (k_1+m·b)^{2^n+1}\; (mod \; q) \)
Como k2 y m son arbitrarios, podemos elegirlos para que la expresión entre paréntesis de la derecha valga 1. De ese modo :
    \( \displaystyle \left(k_1q \pm \frac{1-k_2q}{b}a\right)^{2^n+1} \equiv 1 \; (mod \; q) \)
Ahora bien, según el pequeño teorema de Fermat, al ser q primo, podemos escribir :
    \(\displaystyle \left(k_1q \pm \frac{1-k_2q}{b}a\right)^{p-1} \equiv 1 \; (mod \; q) \)
Y según el teorema de Lagrange sobre el orden de los elementos de un grupo finito :
    \(q-1 = 2k·2^{n+1} \Rightarrow q = 2k·2^{n+1} + 1 \)
y hemos demostrado lo que nos proponíamos.

Los números de Fermat, llamados así en honor de Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, conocido sobre todo por su famoso “último teorema” y uno de los fundadores de la teoría de números, son un subconjunto de (1) que se obtiene al dar valores naturales a n en la expresión :
    \( F_n = \left(2^{2^n}+1 \right)\qquad \qquad\)(4)
Fermat conjeturó que todos los números de la forma (4) eran números primos, pero Leonhard Euler demostró en 1732 que eso no era cierto al obtener para n = 5 un número compuesto :
    \(F_5 = \left(2^{2^n}+1\right)= 2^{32}+1 = 4294967297 = 641 \times 6700417 \)
En el desarrollo de sus trabajos en relación con los números de Fermat, Euler ya demostró para dichos números el teorema aquí expuesto. Posteriormente, Lucas, en 1878, demostró que los factores primos de los números de Fermat son realmente de la forma :
    \( \left(k·2^{n+2}+1\right)\)
BIBLIOGRAFIA

1.- Apóstol, T.M. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

2.- A. Vera y R. Esteban. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

3.- J. A. Hervás. Criterios de Divisibilidad

4.- Aparicio, E., Teoría de los Números, Servicio Editorial U.P.V.

5.- Cilleruelo, J. ; Córdoba, A., La teoría de los Números, Biblioteca Mondadori.

6.- Honsberger, R., El Ingenio en las Matemáticas, DLS-Euler editores.

7.- Beiler, A. H., Recreations in the theory of numbers

8.- J. A. Hervás, Aplicaciones de los residuos cuadráticos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás