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CUBOS MAGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS


INTRODUCCION

Una sucinta introducción a esta área de la matemática recreativa puede encontrarse en [1] .Además, en [2] y [3] pueden conocerse métodos de obtención de cuadrados latinos para su aplicación a la obtención de cubos mágicos, tal como hemos hecho en [4] para obtener cuadrados mágicos.

DEFINICIONES

Cuadrado Latino.- Matriz cuadrada de orden n en la que cada fila y cada columna son permutaciones de los elementos de un conjunto finito S compuesto de n elementos.
Cuadrados Latinos ortogonales.- Es un par de cuadrados latinos ¸, de orden n tales que :
.
Dos cuadrados latinos de tamaño n son ortogonales si cuando se superponen uno encima del otro, cada una de las p2 parejas obtenidas ocurre una sola vez.
Un cuadrado latino A, de orden n, tiene otro ortogonal sii en A existen n transversales disjuntas.
Varios cuadrados latinos de un mismo orden se llaman ortogonales dos a dos si cualesquiera dos de ellos son ortogonales.. Un conjunto de n-1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O.), (en inglés MOLS), se denomina completo.
Cuadrado Grecolatino.- (o de Euler) es el obtenido por la superposición de dos cuadrados latinos ortogonales entre si.
Cubo mágico.- es una disposición de n3 números colocados en n tablas de n x n celdas cada una, de tal modo que la suma de todas y cada una sus columnas, filas o diagonales sea igual a un valor constante. Cuando los números que se disponen son los incluidos entre 1 y n3 , la suma mágica vale (n)( n3 +1)/2.

DESARROLLO

Podemos imaginar un cubo mágico como la estructura formada colocando los n3 primeros números naturales en una disposición semejante a la representada en el esquema adjunto.


En el que cada sección es un cuadrado mágico de orden n y suma mágica (n)(n2 +1)/2.
Para obtener un cubo mágico según el método que exponemos a continuación, necesitamos al menos tres cuadrados latinos ortogonales entre sí.
Para obtener, por ejemplo, cubos mágicos de orden 7, consideramos la tabla de tablas :

A
B
C
D
E
F
G
D
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A

En la que numeramos cada cuadrado latino como 1A, 1B, 1C ; 2A, 2B, 2C ; ... y así sucesivamente, empezando por arriba y de izquierda a derecha.

El cubo mágico resulta de sustituir las letras {A, B, C,..., G} por los números {0,1,...,n-1} en cada una de las tres columnas A, B y C. y aplicar la ecuación :

Donde [1] es una matriz de orden n formada enteramente por unos. Así, tomando los valores :
A B C D E F G   A B C D E F G   A B C D E F G
0 1 2 4 3 5 6   0 1 2 4 3 5 6   3 0 1 2 4 5 6

Resulta :

1 2
3 4
5 6
7  


El esquema anterior nos permite obtener 3x6!x6!x6! cubos mágicos distintos sin más que intercambiar, en cada columna alguno de los números del 0 al 6, excepto el 3, que debe quedar fijo para garantizar que las sumas de todas las diagonales sean igual a la suma mágica.

D1 = 148 + 196 + 188 + 172 + 180 + 164 + 156
D2 = 343 + 229 + 50 + 172 + 254 + 139 + 17
D3 = 284 + 4 + 214 + 172 + 144 + 305 + 81
D4 = 222 + 268 + 322 + 172 + 24 + 71 + 125

De forma análoga, podemos obtener un cubo mágico de orden 8 :

1 2
3 4
5 6
7 8


REFERENCIAS

[1] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M. Gadner, Alianza editorial.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter.
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.
[4] "cuadrados Mágicos a partir de Cuadrados Latinos" de J. A. Hervás
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