CUBOS MÁGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS
INTRODUCCION
Una sucinta introducción a esta área de la
matemática recreativa puede encontrarse en [1] .Además,
en [2] y [3] pueden conocerse métodos de obtención
de cuadrados latinos para su aplicación a la obtención
de cubos mágicos, tal como hemos hecho en [4] para
obtener cuadrados mágicos.
DEFINICIONES
Es interesante conocer previamente algunas definiciones y conceptos
recogidos en la monografía titulada "Cuadrados
latinos para obtener cuadrados mágicos"
Cubo mágico.- es una disposición
de n³ números colocados en n tablas de
n x n celdas cada una, de tal modo que la suma de todas
y cada una sus columnas, filas o diagonales sea igual a
un valor constante. Cuando los números que se disponen
son los incluidos entre 1 y n³ , la suma mágica
vale (n)( n³ +1)/2.
DESARROLLO
Podemos imaginar un cubo mágico como la estructura
formada colocando los n3 primeros números naturales
en una disposición semejante a la representada en
el esquema adjunto.
En el que cada sección es un cuadrado mágico
de orden n y suma mágica (n)(n² +1)/2.
Para obtener un cubo mágico según el método
que exponemos a continuación, necesitamos al menos
tres cuadrados latinos ortogonales entre sí.
Para obtener, por ejemplo, cubos mágicos de orden
7, consideramos la tabla de tablas :
| A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
| D |
E |
F |
G |
A |
B |
C |
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B |
C |
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| C |
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B |
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A |
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| B |
C |
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D |
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D |
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B |
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A |
B |
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| A |
B |
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D |
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D |
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| C |
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A |
B |
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D |
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B |
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B |
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D |
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B |
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D |
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D |
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D |
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D |
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C |
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| C |
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A |
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A |
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A |
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B |
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C |
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A |
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G |
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C |
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B |
C |
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| C |
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B |
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B |
C |
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| G |
A |
B |
C |
D |
E |
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B |
C |
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E |
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| B |
C |
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A |
| D |
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B |
C |
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C |
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E |
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| C |
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A |
B |
| E |
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A |
B |
C |
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| F |
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A |
B |
C |
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C |
D |
E |
F |
G |
A |
| E |
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A |
B |
C |
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| A |
B |
C |
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F |
G |
| D |
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G |
A |
B |
C |
| G |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
| C |
D |
E |
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G |
A |
B |
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| E |
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G |
A |
B |
C |
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A |
B |
C |
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| B |
C |
D |
E |
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G |
A |
| D |
E |
F |
G |
A |
B |
C |
| F |
G |
A |
B |
C |
D |
E |
| A |
B |
C |
D |
E |
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G |
| C |
D |
E |
F |
G |
A |
B |
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| D |
E |
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A |
B |
C |
| F |
G |
A |
B |
C |
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B |
C |
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G |
| C |
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A |
B |
| E |
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G |
A |
B |
C |
D |
| G |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
| B |
C |
D |
E |
F |
G |
A |
|
En la que numeramos cada cuadrado latino como 1A, 1B, 1C
; 2A, 2B, 2C ; ... y así sucesivamente, empezando
por arriba y de izquierda a derecha.
El cubo mágico resulta de sustituir las letras {A,
B, C,..., G} por los números {0,1,...,n-1} en cada
una de las tres columnas A, B y C. y aplicar la ecuación
:
Donde [1] es una matriz de orden n formada enteramente por
unos. Así, tomando los valores :
| A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
| 0 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
6 |
|
0 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
6 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
Resulta :
El esquema anterior nos permite obtener 3x6!x6!x6!
cubos mágicos distintos sin más que intercambiar,
en cada columna alguno de los números del 0 al 6,
excepto el 3, que debe quedar fijo para garantizar que las
sumas de todas las diagonales sean igual a la suma mágica.
 |
D1
= 148 + 196 + 188 + 172 + 180 + 164 + 156
D2 = 343 + 229 + 50 + 172 + 254 + 139 + 17
D3 = 284 + 4 + 214 + 172 + 144 + 305 + 81
D4 = 222 + 268 + 322 + 172 + 24 + 71 + 125 |
De forma análoga, podemos obtener un cubo mágico
de orden 8 :
REFERENCIAS
[1] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M.
Gadner, Alianza editorial.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W.
W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter.
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya.
I. Perelman.
[4] "cuadrados Mágicos a partir de Cuadrados Latinos"
de J. A. Hervás
