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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

CUBOS MÁGICOS Y CUADRADOS LATINOS

 

CUBOS MÁGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS

INTRODUCCION

Una sucinta introducción a esta área de la matemática recreativa puede encontrarse en [1] .Además, en [2] y [3] pueden conocerse métodos de obtención de cuadrados latinos para su aplicación a la obtención de cubos mágicos, tal como hemos hecho en [4] para obtener cuadrados mágicos.

DEFINICIONES

Es interesante conocer previamente algunas definiciones y conceptos recogidos en la monografía titulada "Cuadrados latinos para obtener cuadrados mágicos"

Cubo mágico.- es una disposición de n³ números colocados en n tablas de n x n celdas cada una, de tal modo que la suma de todas y cada una sus columnas, filas o diagonales sea igual a un valor constante. Cuando los números que se disponen son los incluidos entre 1 y n³ , la suma mágica vale (n)( n³ +1)/2.

DESARROLLO

Podemos imaginar un cubo mágico como la estructura formada colocando los n3 primeros números naturales en una disposición semejante a la representada en el esquema adjunto.

cubos mágicos
En el que cada sección es un cuadrado mágico de orden n y suma mágica (n)(n² +1)/2.
Para obtener un cubo mágico según el método que exponemos a continuación, necesitamos al menos tres cuadrados latinos ortogonales entre sí.
Para obtener, por ejemplo, cubos mágicos de orden 7, consideramos la tabla de tablas :

A B C D E F G
D E F G A B C
G A B C D E F
C D E F G A B
F G A B C D E
B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E

C D E F G A B
F G A B C D E
B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
D E F G A B C
G A B C D E F
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B

E F G A B C D
A B C D E F G
D E F G A B C
G A B C D E F
C D E F G A B
F G A B C D E
B C D E F G A
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F

G A B C D E F
C D E F G A B
F G A B C D E
B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
D E F G A B C
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C

B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
D E F G A B C
G A B C D E F
C D E F G A B
F G A B C D E
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G

D E F G A B C
G A B C D E F
C D E F G A B
F G A B C D E
B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D

F G A B C D E
B C D E F G A
E F G A B C D
A B C D E F G
D E F G A B C
G A B C D E F
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
D E F G A B C
F G A B C D E
A B C D E F G
C D E F G A B
E F G A B C D
G A B C D E F
B C D E F G A

En la que numeramos cada cuadrado latino como 1A, 1B, 1C ; 2A, 2B, 2C ; ... y así sucesivamente, empezando por arriba y de izquierda a derecha.

El cubo mágico resulta de sustituir las letras {A, B, C,..., G} por los números {0,1,...,n-1} en cada una de las tres columnas A, B y C. y aplicar la ecuación :
cubos mágicos
Donde [1] es una matriz de orden n formada enteramente por unos. Así, tomando los valores :
A B C D E F G   A B C D E F G   A B C D E F G
0 1 2 4 3 5 6   0 1 2 4 3 5 6   3 0 1 2 4 5 6

Resulta :

1 cubos mágicos 2 cubos mágicos
3 cubos mágicos 4 cubos mágicos
5 cubos mágicos 6 cubos mágicos
7 cubos mágicos   cubos mágicos


El esquema anterior nos permite obtener 3x6!x6!x6! cubos mágicos distintos sin más que intercambiar, en cada columna alguno de los números del 0 al 6, excepto el 3, que debe quedar fijo para garantizar que las sumas de todas las diagonales sean igual a la suma mágica.

cubos mágicos D1 = 148 + 196 + 188 + 172 + 180 + 164 + 156
D2 = 343 + 229 + 50 + 172 + 254 + 139 + 17
D3 = 284 + 4 + 214 + 172 + 144 + 305 + 81
D4 = 222 + 268 + 322 + 172 + 24 + 71 + 125

De forma análoga, podemos obtener un cubo mágico de orden 8 :

1 cubos mágicos 2 cubos mágicos
3 cubos mágicos 4 cubos mágicos
5 cubos mágicos 6 cubos mágicos
7 cubos mágicos 8 cubos mágicos


REFERENCIAS

[1] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M. Gadner, Alianza editorial.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter.
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.
[4] "cuadrados Mágicos a partir de Cuadrados Latinos" de J. A. Hervás

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tema escrito por: José Antonio Hervás