OBTENCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN n+2

INTRODUCCION

Como complemento de los dos primeros trabajos [1], [2] sobre cuadrados mágicos, en el presente vamos a mostrar algunos resultados propios sobre como obtener cuadrados mágicos de orden n+2 a partir de uno de orden n.
Para conocer una referencia a este método, conocido como método de Frenicle, podemos consultar [3]

DESARROLLO

Comenzamos colocando en una tabla de 2 filas y [n² + Mod n(2)]/2 columnas todos los números del 1 al n² de tal modo que la suma de los elementos de cada columna sea igual a n² + 1 (en el caso n impar, la última columna contendrá el elemento [(n² +1)/2]-ésimo en ambas filas).
Llamaremos grupo a cada par de elementos constitutivos de una columna .
Para construir un cuadrado rebordeado de orden n, tomaremos previamente tantos grupos como los que necesitemos para formar un cuadrado de orden n-2. Si n es impar, entre dichos grupos incluiremos al que contiene el elemento (n² +1)/2 y trataremos de formar un cuadrado mágico de orden n-2 y suma mágica (n-2)(n² +1)/2.
Los grupos que no se hayan considerado para el cuadrado mágico de orden n-2 se colocarán en el borde que recubrirá dicho cuadrado mágico.
Ilustraremos el método con la sistemática seguida para n = 5. Tenemos la tabla de la izquierda :

De la que tomamos, por ejemplo, el conjunto de la derecha con el que podemos formar el cuadrado mágico representado y denotado por (M).
Con los grupos no considerados para el cuadrado mágico de orden n-2 = 3, tenemos la tabla :

4	5	6	7	8	9	10	11
22	21	20	19	18	17	16	15

De la que debemos extraer pares de conjuntos de n = 5 grupos que cumplan las siguientes condiciones :

	En cada conjunto, tomando elementos de una u otra fila, pero siempre de grupos distintos, deberemos obtener sumas de valor (n)(n2 +1)/2 = 65.
	Entre los dos conjuntos se tomarán todos los grupos, por lo que habrá dos repetidos.
	Uno de los dos grupos común a ambos conjuntos tendrá sus filas recíprocamente invertidas, es decir, si en un conjunto lo colocamos como a|b en el otro estará como b|a.

Varios conjuntos que cumplen la primera condición son (T) :

Habiendo quedado fuera, en cada caso las que llamaremos tablas complementarias de las anteriores :

Para cada una de las tablas complementarias tenemos las siguientes combinaciones de tres elementos de distintas columnas :

8 , 10 y 11 suman 29   8 , 10 y 15 suman 33   8 , 11 y 16 suman 35   8 , 15 y 16 suman 39 10 , 11 y 18 suman 39 10 , 15 y 18 suman 43 11 , 16 y 18 suman 45 15 , 16 y 18 suman 49

8 ,   9 y 10 suman 27   8 ,   9 y 16 suman 33   8 , 10 y 17 suman 35   8 , 16 y 17 suman 41   9 , 10 y 18 suman 37   9 , 16 y 18 suman 43 10 , 17 y 18 suman 45 16 , 17 y 18 suman 51

7 ,   9 y 11 suman 27   7 ,   9 y 15 suman 31   7 , 11 y 17 suman 35   7 , 15 y 17 suman 39   9 , 11 y 19 suman 39   9 , 15 y 19 suman 43 11 , 17 y 19 suman 47 15 , 17 y 19 suman 51

Se trataría entonces de encontrar, para cada una de las tablas (T), dos números de fila y columna distintos de modo que entre los dos sumen la cantidad que le falta a alguna de las sumas que pueden obtenerse combinando de n-2 en n-2 los distintos elementos de su tabla complementaria para llegar al valor (n)( n² +1)/2 = 65.
Para la tabla de la izquierda no hemos encontrado tales números. Para la tabla central podemos formar las parejas : (11,21) ; (11,19) ; (4,20) ; (5,19) de sumas respectivas (32;20) ; (30;22) ; (24,28) ; (24;28) con los que obtenemos los siguientes grupos :


Que nos permiten escribir otros tantos bordes :

Para la tabla de la derecha tenemos las parejas (4,10) y (6,8) de sumas respectivas (14;38) y (14,38), que nos dan los grupos y bordes :

Es fácil comprobar que todos los bordes obtenidos son compatibles con el cuadrado mágico M).
Además de las tablas complementarias vistas, que dan lugar a los bordes representados, tenemos el siguiente listado de grupos compatibles con el cuadrado (M) :





Donde el símbolo * a la derecha de algunos números indica que ocupan una de las esquinas del borde al que pertenecen y que recubre al cuadrado mágico (M)
Otros conjuntos válidos para obtener cuadrados mágicos de orden n-2 = 3, son :



Y, como muestra, tenemos :

8	25	6		9	24	6
11	13	15		10	13	16
20	1	18		20	2	17

La sistemática seguida para estos 25 conjuntos es análoga a la descrita, aunque el número de cuadrados mágicos obtenidos a partir de cada un de ellos será distinto. Por ejemplo, para el último conjunto hemos encontrado los siguientes bordes :



Las posibilidades de obtener cuadrados mágicos distintos pueden ampliarse observando, que la permutación, por un lado, de los elementos no comunes a las esquinas y, por otro, de los bordes horizontales o verticales, mantiene las propiedades del cuadrado mágico; además, hemos de considerar también que el cuadrado mágico de orden 3 puede ponerse de 8 formas. Además, con cualquiera de las bandas obtenidas podemos hacer :



Aunque la figura de la derecha es mas restrictiva y requiere un tratamiento particular para cada caso ya que se trataría de encontrar un elemento Q del cuadrado mágico de orden 3 tal que :



Varios ejemplos resultantes de lo dicho son :



La aplicación de las reglas expuestas a la obtención de cuadrados mágicos de orden superior a 5 resulta sencilla. Por ejemplo, para obtener cuadrados mágicos de orden 6 escribimos la tabla :



Teniendo en cuenta que la suma mágica del cuadrado interior a los bordes, para n = 6 vale 74, vamos a construir varios cuadrados mágicos con los conjuntos :



Cuyas tablas complementarias son :



El primero de ellos nos permite obtener, por ejemplo :



Que, combinados con los bordes :



Y sus posibles transformaciones dan lugar a múltiples cuadrados mágicos de orden 6 entre los que podemos escribir, por ejemplo :



Operando con el conjunto de la derecha obtenemos, entre otros muchos :



Con la aplicación reiterada de las reglas expuestas, podemos llegar a obtener cuadrados mágicos como el ilustrado a continuación :



Que es mágico para todos y cada uno de los bordes señalados.
Una variante del método de bordeados consiste en formar cuadrados "cuasi-mágicos" ,de orden n-2, tales que, por ejemplo, los números de sus columnas y diagonales sumen el valor mágico (n-2)(n²+1)/2 .
Por ejemplo, con la tabla adjunta:


Se pueden formar los cuadrados cuasi-mágicos que están bajo ella y a partir de ahí investigar la posible existencia de bandas acoplables a dichos cuadrados.
Tenemos, por ejemplo las bandas :



Que por simple permutación o giro nos dan, entre otros, los cuadrados mágicos :



Naturalmente, pueden construirse otros cuadrados cuasi-mágicos de orden n-2.
[1] Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos. J. A Hervás
[2] Cuadrados mágicos a partir de otros de orden divisor. J. A. Hervás
[3] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter