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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

CUADRADOS MÁGICOS DE FRENICLE

 

OBTENCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN n+2

INTRODUCCION

Como complemento de los dos primeros trabajos "Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos" y "Cuadrados mágicos a partir de otros de orden divisor" sobre cuadrados mágicos, en el presente vamos a mostrar algunos resultados propios sobre como obtener cuadrados mágicos de orden n+2 a partir de uno de orden n.
Para conocer una referencia a este método, conocido como método de Frenicle, podemos consultar [3]

DESARROLLO

Comenzamos colocando en una tabla de 2 filas y [n² + Mod n(2)]/2 columnas todos los números del 1 al n² de tal modo que la suma de los elementos de cada columna sea igual a n² + 1 (en el caso n impar, la última columna contendrá el elemento [(n² +1)/2]-ésimo en ambas filas).
Llamaremos grupo a cada par de elementos constitutivos de una columna .
Para construir un cuadrado rebordeado de orden n, tomaremos previamente tantos grupos como los que necesitemos para formar un cuadrado de orden n-2. Si n es impar, entre dichos grupos incluiremos al que contiene el elemento (n² +1)/2 y trataremos de formar un cuadrado mágico de orden n-2 y suma mágica (n-2)(n² +1)/2.
Los grupos que no se hayan considerado para el cuadrado mágico de orden n-2 se colocarán en el borde que recubrirá dicho cuadrado mágico.
Ilustraremos el método con la sistemática seguida para n = 5. Tenemos abajo la tabla superior :

De la que tomamos, por ejemplo, el conjunto de la parte inferior con el que podemos formar el cuadrado mágico representado y denotado por (M).
Con los grupos no considerados para el cuadrado mágico de orden n-2 = 3, tenemos la tabla :

4 5 6
7
8
9 10 11
22 21 20 19 18 17 16 15

De la que debemos extraer pares de conjuntos de n = 5 grupos que cumplan las siguientes condiciones :

  • En cada conjunto, tomando elementos de una u otra fila, pero siempre de grupos distintos, deberemos obtener sumas de valor (n)(n² +1)/2 = 65.
  • Entre los dos conjuntos se tomarán todos los grupos, por lo que habrá dos repetidos.
  • Uno de los dos grupos común a ambos conjuntos tendrá sus filas recíprocamente invertidas, es decir, si en un conjunto lo colocamos como a|b en el otro estará como b|a.
Varios conjuntos que cumplen la primera condición son (T) :

cuadrados mágicos

Habiendo quedado fuera, en cada caso las que llamaremos tablas complementarias de las anteriores :

cuadrados mágicos

Para cada una de las tablas complementarias tenemos las siguientes combinaciones de tres elementos de distintas columnas :

  8 , 10 y 11 suman 29
  8 , 10 y 15 suman 33
  8 , 11 y 16 suman 35
  8 , 15 y 16 suman 39
10 , 11 y 18 suman 39
10 , 15 y 18 suman 43
11 , 16 y 18 suman 45
15 , 16 y 18 suman 49
  8 ,   9 y 10 suman 27
  8 ,   9 y 16 suman 33
  8 , 10 y 17 suman 35
  8 , 16 y 17 suman 41
  9 , 10 y 18 suman 37
  9 , 16 y 18 suman 43
10 , 17 y 18 suman 45
16 , 17 y 18 suman 51
  7 ,   9 y 11 suman 27
  7 ,   9 y 15 suman 31
  7 , 11 y 17 suman 35
  7 , 15 y 17 suman 39
  9 , 11 y 19 suman 39
  9 , 15 y 19 suman 43
11 , 17 y 19 suman 47
15 , 17 y 19 suman 51

Se trataría entonces de encontrar, para cada una de las tablas (T), dos números de fila y columna distintos de modo que entre los dos sumen la cantidad que le falta a alguna de las sumas que pueden obtenerse combinando de n-2 en n-2 los distintos elementos de su tabla complementaria para llegar al valor (n)( n² +1)/2 = 65.
Para la tabla de la izquierda no hemos encontrado tales números. Para la tabla central podemos formar las parejas : (11,21) ; (11,19) ; (4,20) ; (5,19) de sumas respectivas (32;20) ; (30;22) ; (24,28) ; (24;28) con los que obtenemos los siguientes grupos :



Que nos permiten escribir otros tantos bordes :

cuadrados mágicos
Para la tabla de la derecha tenemos las parejas (4,10) y (6,8) de sumas respectivas (14;38) y (14,38), que nos dan los grupos y bordes :
cuadrados mágicos -

Es fácil comprobar que todos los bordes obtenidos son compatibles con el cuadrado mágico M).
Además de las tablas complementarias vistas, que dan lugar a los bordes representados, tenemos el siguiente listado de grupos compatibles con el cuadrado (M) :

cuadrados mágicos

cuadrados mágicos

Donde el símbolo * a la derecha de algunos números indica que ocupan una de las esquinas del borde al que pertenecen y que recubre al cuadrado mágico (M)
Otros conjuntos válidos para obtener cuadrados mágicos de orden n-2 = 3, son :



Y, como muestra, tenemos :

    8 25 6 9 24 6
    11 13 15 10 13 16
    20 1 18 20 2 17
La sistemática seguida para estos 25 conjuntos es análoga a la descrita, aunque el número de cuadrados mágicos obtenidos a partir de cada un de ellos será distinto. Por ejemplo, para el último conjunto hemos encontrado los siguientes bordes :

cuadrados mágicos

Las posibilidades de obtener cuadrados mágicos distintos pueden ampliarse observando, que la permutación, por un lado, de los elementos no comunes a las esquinas y, por otro, de los bordes horizontales o verticales, mantiene las propiedades del cuadrado mágico; además, hemos de considerar también que el cuadrado mágico de orden 3 puede ponerse de 8 formas. Además, con cualquiera de las bandas obtenidas podemos hacer :

cuadrados mágicos

Aunque la figura de la derecha es mas restrictiva y requiere un tratamiento particular para cada caso ya que se trataría de encontrar un elemento Q del cuadrado mágico de orden 3 tal que :



Varios ejemplos resultantes de lo dicho son :

cuadrados mágicos

La aplicación de las reglas expuestas a la obtención de cuadrados mágicos de orden superior a 5 resulta sencilla. Por ejemplo, para obtener cuadrados mágicos de orden 6 escribimos la tabla :

cuadrados mágicos

Teniendo en cuenta que la suma mágica del cuadrado interior a los bordes, para n = 6 vale 74, vamos a construir varios cuadrados mágicos con los conjuntos :



Cuyas tablas complementarias son :

cuadrados mágicos

El primero de ellos nos permite obtener, por ejemplo :

cuadrados mágicos

Que, combinados con los bordes :



Y sus posibles transformaciones dan lugar a múltiples cuadrados mágicos de orden 6 entre los que podemos escribir, por ejemplo :

cuadrados mágicos

Operando con el conjunto de la derecha obtenemos, entre otros muchos :

cuadrados mágicos

Con la aplicación reiterada de las reglas expuestas, podemos llegar a obtener cuadrados mágicos como el ilustrado a continuación :

cuadrado mágico de Frenicle


Que es mágico para todos y cada uno de los bordes señalados.
Una variante del método de bordeados consiste en formar cuadrados "cuasi-mágicos" ,de orden n-2, tales que, por ejemplo, los números de sus columnas y diagonales sumen el valor mágico (n-2)(n²+1)/2 .
Por ejemplo, con la tabla adjunta:

cuadrados mágicos
Se pueden formar los cuadrados cuasi-mágicos que están bajo ella y a partir de ahí investigar la posible existencia de bandas acoplables a dichos cuadrados.
Tenemos, por ejemplo las bandas :

cuadrados mágicos

Que por simple permutación o giro nos dan, entre otros, los cuadrados mágicos :



Naturalmente, pueden construirse otros cuadrados cuasi-mágicos de orden n-2.
[1] Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos. J. A Hervás
[2] Cuadrados mágicos a partir de otros de orden divisor. J. A. Hervás
[3] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter.
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre estos apuntes sobre apuntes sobre cuadrados mágicos de Frenicle?.- ¡Recomiénda esta página!

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tema escrito por: José Antonio Hervás