En un trabajo anterior
"Cuadrados mágicos
a partir de cuadrados latinos"
hemos explicado la forma de obtener cuadrados mágicos
a partir de cuadrados latinos ortogonales. En algunas ocasiones
resulta difícil obtener dos cuadrados latinos cumpliendo
esa propiedad, como ocurre en el caso de algunos de orden par.
Para esas situaciones y también las de orden impar compuesto,
desarrollamos los procedimientos adjuntos.
DESARROLLO
Conocidos dos cuadrados mágicos de ordenes p y q podemos
construir varios de orden p.q aplicando el producto directo
de dos matrices. El procedimiento se ilustra gráficamente
en el siguiente esquema :
Donde hemos tomado los cuadrados mágicos :
Este procedimiento da cuadrados mágicos distintos del que
nos ha servido para obtener un C.G.L. mediante el producto directo
de dos pares de C.L.O. y que hemos ilustrado con dos de orden
12.
Naturalmente, si sustituimos uno o varios de los subcuadrados
por otro u otros del mismo orden, obtenemos un cuadrado mágico
distinto:
Podemos también seguir otro procedimiento
para obtener un cuadrado mágico de orden m.n a partir de
dos cuadrados mágicos de órdenes m y n. esquematizamos
su formación mediante las figuras adjuntas y para el caso
de dos cuadrados mágicos de orden 12:
Para todo número par 2n
podemos obtener un cuadrado mágico conociendo un cuadrado
mágico de orden n y considerando el siguiente esquema :
- Se construye un cuadrado base de
n x n celdas
- Cada una de las celdas se divide
en cuatro subceldas en las que se colocan los dígitos
1 al 4
- Se reordenan las celdas para que
todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado 2n x 2n
sumen el valor 5n
- En este punto, podemos emplear dos procedimientos para obtener
el cuadrado mágico de orden 2n
- Considerando la estructura del cuadrado de orden n, se
sigue la secuencia de ordenación de sus dígitos
y para cada cuadrado pequeño la secuencia de los
colocados en él.
- Considerando el cuadrado base como
la superposición de cuatro cuadrados de orden n,
se trata de ir completando secuencialmente cada uno de estos
4 cuadrados.
Ilustramos el procedimiento para los casos n = 3 y n = 5 y construimos
varios cuadrados mágicos de orden 6 y 10, respectivamente.
Como ejemplos de cuadrados base para los de orden 6, tenemos :
según el primero de los métodos para completar el
cuadrado mágico, resultan :
y mediante el segundo :
y como ejemplos de cuadrados base para los de orden 10 :
con los que obtenemos, por el primero y segundo métodos,
respectivamente:
[1]
Cuadrados mágicos a partir
de cuadrados latinos, J. A. Hervás.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W.
Rouse Ball y H. S. M. Coxeter
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I.
Perelman.
[4] "Matemáticas en el mundo moderno", Selecciones
de Scientific American.
