CUADRADOS MÁGICOS A PARTIR DE OTROS DE ORDEN DIVISOR

En un trabajo anterior "Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos" hemos explicado la forma de obtener cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos ortogonales. En algunas ocasiones resulta difícil obtener dos cuadrados latinos cumpliendo esa propiedad, como ocurre en el caso de algunos de orden par. Para esas situaciones y también las de orden impar compuesto, desarrollamos los procedimientos adjuntos.

DESARROLLO

Conocidos dos cuadrados mágicos de ordenes p y q podemos construir varios de orden p.q aplicando el producto directo de dos matrices. El procedimiento se ilustra gráficamente en el siguiente esquema :


Donde hemos tomado los cuadrados mágicos :


Este procedimiento da cuadrados mágicos distintos del que nos ha servido para obtener un C.G.L. mediante el producto directo de dos pares de C.L.O. y que hemos ilustrado con dos de orden 12.
Naturalmente, si sustituimos uno o varios de los subcuadrados por otro u otros del mismo orden, obtenemos un cuadrado mágico distinto :


Podemos también seguir otro procedimiento para obtener un cuadrado mágico de orden m.n a partir de dos cuadrados mágicos de órdenes m y n. esquematizamos su formación mediante las figuras adjuntas y para el caso de dos cuadrados mágicos de orden 12:


Para todo número par 2n podemos obtener un cuadrado mágico conociendo un cuadrado mágico de orden n y considerando el siguiente esquema :

• Se construye un cuadrado base de n x n celdas
  
• Cada una de las celdas se divide en cuatro subceldas en las que se colocan los dígitos 1 al 4
  
• Se reordenan las celdas para que todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado 2n x 2n sumen el valor 5n
  
• En este punto, podemos emplear dos procedimientos para obtener el cuadrado mágico de orden 2n
  
• Considerando la estructura del cuadrado de orden n, se sigue la secuencia de ordenación de sus dígitos y para cada cuadrado pequeño la secuencia de los colocados en él.
  
• Considerando el cuadrado base como la superposición de cuatro cuadrados de orden n, se trata de ir completando secuencialmente cada uno de estos 4 cuadrados.

Ilustramos el procedimiento para los casos n = 3 y n = 5 y construimos varios cuadrados mágicos de orden 6 y 10, respectivamente. Como ejemplos de cuadrados base para los de orden 6, tenemos :



según el primero de los métodos para completar el cuadrado mágico, resultan :



y mediante el segundo :



y como ejemplos de cuadrados base para los de orden 10 :


con los que obtenemos, por el primero y segundo métodos, respectivamente:



[1] Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos, J. A. Hervás.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.
[4] "Matemáticas en el mundo moderno", Selecciones de Scientific American.