En un trabajo anterior [1] hemos explicado la forma de obtener cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos ortogonales. En algunas ocasiones resulta difícil obtener dos cuadrados latinos cumpliendo esa propiedad, como ocurre en el caso de algunos de orden par. Para esas situaciones y también las de orden impar compuesto, desarrollamos los procedimientos adjuntos.

DESARROLLO

Conocidos dos cuadrados mágicos de ordenes p y q podemos construir varios de orden p.q aplicando el producto directo de dos matrices. El procedimiento se ilustra gráficamente en el siguiente esquema :



Donde hemos tomado los cuadrados mágicos :


Este procedimiento da cuadrados mágicos distintos del que nos ha servido para obtener un C.G.L. mediante el producto directo de dos pares de C.L.O. y que hemos ilustrado con dos de orden 12.
Naturalmente, si sustituimos uno o varios de los subcuadrados por otro u otros del mismo orden, obtenemos un cuadrado mágico distinto :




Podemos también seguir otro procedimiento para obtener un cuadrado mágico de orden m.n a partir de dos cuadrados mágicos de órdenes m y n. esquematizamos su formación mediante las figuras adjuntas y para el caso de dos cuadrados mágicos de orden 12:




Para todo número par 2n podemos obtener un cuadrado mágico conociendo un cuadrado mágico de orden n y considerando el siguiente esquema :

	Se construye un cuadrado base de n x n celdas
	Cada una de las celdas se divide en cuatro subceldas en las que se colocan los dígitos 1 al 4
	Se reordenan las celdas para que todas las filas, columnas y diagonales del cuadrado 2n x 2n sumen el valor 5n
	En este punto, podemos emplear dos procedimientos para obtener el cuadrado mágico de orden 2n

	Considerando la estructura del cuadrado de orden n, se sigue la secuencia de ordenación de sus dígitos y para cada cuadrado pequeño la secuencia de los colocados en él.
	Considerando el cuadrado base como la superposición de cuatro cuadrados de orden n, se trata de ir completando secuencialmente cada uno de estos 4 cuadrados.

Ilustramos el procedimiento para los casos n = 3 y n = 5 y construimos varios cuadrados mágicos de orden 6 y 10, respectivamente. Como ejemplos de cuadrados base para los de orden 6, tenemos :



según el primero de los métodos para completar el cuadrado mágico, resultan :



y mediante el segundo :



y como ejemplos de cuadrados base para los de orden 10 :


con los que obtenemos, por el primer método :


y por el segundo :



[1] Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos, J. A. Hervás.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.
[4] "Matemáticas en el mundo moderno", Selecciones de Scientific American.