CUADRADOS
MÁGICOS A PARTIR DE OTROS DE ORDEN DIVISOR
En
un trabajo anterior [1] hemos explicado la forma de obtener cuadrados
mágicos a partir de cuadrados latinos ortogonales. En algunas ocasiones
resulta difícil obtener dos cuadrados latinos cumpliendo esa propiedad,
como ocurre en el caso de algunos de orden par. Para esas situaciones
y también las de orden impar compuesto, desarrollamos los procedimientos
adjuntos.
DESARROLLO
Conocidos dos cuadrados mágicos de ordenes p y q podemos construir
varios de orden p.q aplicando el producto directo de dos matrices. El
procedimiento se ilustra gráficamente en el siguiente esquema :


Donde hemos tomado los cuadrados mágicos :

Este procedimiento da cuadrados mágicos distintos del que nos ha
servido para obtener un C.G.L. mediante el producto directo de dos pares
de C.L.O. y que hemos ilustrado con dos de orden 12.
Naturalmente, si sustituimos uno o varios de los subcuadrados por otro
u otros del mismo orden, obtenemos un cuadrado mágico distinto
:


Podemos también seguir otro procedimiento para obtener un cuadrado
mágico de orden m.n a partir de dos cuadrados mágicos de
órdenes m y n. esquematizamos su formación mediante las
figuras adjuntas y para el caso de dos cuadrados mágicos de orden
12:


Para todo número par 2n podemos obtener un cuadrado mágico
conociendo un cuadrado mágico de orden n y considerando el siguiente
esquema :
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Se construye un cuadrado base de n x n celdas |
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Cada una de las celdas se divide en cuatro subceldas en las
que se colocan los dígitos 1 al 4 |
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Se reordenan las celdas para que todas las filas, columnas y
diagonales del cuadrado 2n x 2n sumen el valor 5n |
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En este punto, podemos emplear dos procedimientos para obtener
el cuadrado mágico de orden 2n |
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Considerando la estructura del cuadrado de orden
n, se sigue la secuencia de ordenación de sus dígitos
y para cada cuadrado pequeño la secuencia de los colocados
en él. |
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Considerando el cuadrado base como la superposición
de cuatro cuadrados de orden n, se trata de ir completando secuencialmente
cada uno de estos 4 cuadrados. |
Ilustramos el procedimiento para los casos n = 3 y n = 5 y construimos
varios cuadrados mágicos de orden 6 y 10, respectivamente. Como
ejemplos de cuadrados base para los de orden 6, tenemos :

según el primero de los métodos para completar el cuadrado
mágico, resultan :

y mediante el segundo :

y como ejemplos de cuadrados base para los de orden 10 :

con los que obtenemos, por el primer método :

y por el segundo :

[1] Cuadrados mágicos a partir de cuadrados latinos, J. A. Hervás.
[2] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball
y H. S. M. Coxeter
[3] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.
[4] "Matemáticas en el mundo moderno", Selecciones de
Scientific American.