CUADRADOS MÁGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS

este artículo es la continuación del titulado:

CUADRADOS LATINOS PARA OBTENER CUADRADOS MÁGICOS

La cantidad de cuadrados mágicos que estimamos posible obtener por el método de cuadrados grecolatinos resulta de :

(n-2)! Cuadrados latinos reducidos válidos
(n-2)! Familias de conjuntos completos para cada C.L.R. válido
(n-1) Cuadrados latinos en cada familia completa
(n-1)n Parejas a combinar en la fórmula (2)
n! Posibilidades numéricas para cada cuadrado latino.

De donde :

C = [(n-2)!]² * (n-1)² * n! * n

Desarrollando las posibles combinaciones ortogonales entre los cuadrados latinos de orden 5, hemos encontrado los siguientes conjuntos completos :

En las familias 1 y 3 :

{1,11,14,24}; {2,12,13,23}; {3,8,17,22}; {4,7,18,21}; {5,10,15,20}; {6,9,16,19}

En las familias 4 y 6 :

{1,8,18,23}; {2,7,17,24}; {3,11,16,20}; {4,12,15,19}; {5,9,14,22}; {6,10,13,21}

En las familias 2 y 5 :

{1,10,17,19}; {2,9,18,20}; {3,12,14,21}; {4,11,13,22}; {5,7,16,23}; {6,8,15,24}

Teniendo en cuenta que una de las condiciones que ha de cumplir cada cuadrado latino para ser la base de un cuadrado mágico es que la suma de los números de las diagonales sea igual a 10(la suma de las filas y columnas ya es trivialmente 10, hemos considerado las posibles combinaciones de 5 elementos de los dígitos 0,1, 2, 3 y 4 cuya suma sea igual a 10. estas combinaciones, salvo permutación, son :

(0,0,2,4,4) (0,0,3,3,4) (0,1,1,4,4) (0,1,2,3,4) (0,1,3,3,3) (0,2,2,2,4)
(0,2,2,3,3) (1,1,1,3,4) (1,1,2,2,4) (1,1,2,3,3) (1,2,2,2,3) (2,2,2,2,2)

EJEMPLOS

Tomando los cuadrados 1º y 8º de la sexta familia, resulta :



Para el cuadrado nº 1 tenemos :

Diagonal directa sin restricciones 120 posibilidades
Diagonal inversa ECDCE
(00244),(00334),(01144),(02233),(11224),(11233)

En cada uno de estos 6 grupos podemos permutar las letras E y C, y en cada subgrupo resultante las letras A y B con los valores restantes. Todo ello nos da : 6x2x2 = 24 C.L. distintos.

Para el cuadrado nº 8 tenemos :
Diagonal directa AAAAA (22222) 24 posibilidades.
Diagonal inversa EEADD Si no tuviéramos mas restricciones, resultarían 24 posibilidades de acuerdo a lo visto para el cuadrado nº 1, pero como A solo puede valer 2, nos quedan los grupos (00244) y (11233); ello nos da : 2x2x2 = 8 C. L. distintos.

La combinación del 1º y 8º cuadrados nos permite 24x8 bases grecolatinas para otros tantos cuadrados mágicos de orden 5 con cada una de las fórmulas de (2). Como ejemplos numéricos podemos poner :



Operando de igual forma con el resto de cuadrados obtenemos la tabla siguiente para n = 5 :

CONJUNTO	POSIBILIDADES		SUBTOTAL 1	SUBTOTAL 2	TOTAL
{1,8,18,23} {2,7,17,24} {3,11,16,20} {4,12,15,19} {5,9,14,22} {6,10,13,21} {1,11,14,24} {2,12,13,23} {3,8,17,22} {4,7,18,21} {5,10,15,20} {6,9,16,19} {1,10,17,19} {2,9,18,20} {3,12,14,21} {4,11,13,22} {5,7,16,23} {6,8,15,24}	(24,8,16,16) (2,2,6,6) (16,4,6,6) 6,6,4,16) (24,8,16,16) (2,2,6,6) (24,120,120,24) (2,6,6,2) (2,6,6,2) (6,2,2,6) (12,4,4,12) (2,6,6,2) (24,16,8,16) (16,8,16,24) (16,6,4,6) (6,2,6,2) (6,2,6,2) (16,6,4,6)	(24,24,120,120) (2,2,6,6) (2,2,6,6) (12,12,4,4) (6,6,2,2) (2,2,6,6) (24,16,16,8) (16,24,8,16) (2,6,6,2) (6,16,4,6) (2,6,6,2) (6,16,4,6) (24,16,8,16) (2,6,2,6) (2,6,2,6) (24,16,8,16) (6,16,6,4) (16,6,4,6)	1472 88 340 340 1472 88 26496 88 88 88 352 88 1472 1472 340 88 88 340	26496 88 88 352 88 88 1472 1472 88 340 88 340 1472 88 88 1472 340 340	27968 176 428 692 1560 176 27968 1560 176 428 2944 1560 428 1560 428 1560 428 680

La suma de los valores de la columna TOTAL nos da 69.600 cuadrados grecolatinos para otros tantos cuadrados mágicos de orden 5 obtenidos a partir de la expresión (2). Algunos de dichos cuadrados podrán ser transformaciones triviales de otros. Como puede verse, esta cantidad es bastante inferior a la cota dada por C (es del orden de C/n)

Para n = p^k (k>2) también sabemos obtener un conjunto completo de C.L.M.O. Dicho conjunto completo puede obtenerse, para el caso p = 2, a partir de un cuadrado latino de orden 2^k de la forma :



donde cada a_ij es una matriz cuadrada de orden 2^k-1 con la misma estructura que A, es decir :



y así sucesivamente.

Para cualquier matriz como A, la aplicación sistemática de la permutación :


Así, por ejemplo, para n = 2³ tenemos la permutación :



que nos permite obtener el siguiente conjunto completo de Cuadrados Latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O) :





Es fácil comprobar que aplicando la permutación considerada al último de los cuadrados obtenidos, resulta otra vez el primero de ellos.

Si p es un primo distinto de 2,un método sencillo de implementar para n = p² y que ilustramos para p = 3 n = 9, es el siguiente : Consideramos el cuadrado Ap de la ecuación G y su transformada (p-1)-ésima, junto con un cuadrado formado por los elementos 1 a n = p²



Como cuadrado latino inicial consideramos :



Para el que puede verse que está formado como producto directo de dos cuadrados latinos iguales de orden p = 3.
Un conjunto completo de cuadrados latinos mutuamente ortogonales C.L.M.O. de orden n = p² se obtiene con la siguiente pauta : Se toman los elementos 1 a n = p² de la primera columna y se colocan en una sola fila : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ese sería el orden de las filas para el primero de los cuadrados latinos. El siguiente, obtenido a partir de él , se formaría reordenando como sigue el cuadrado formado por los p² elementos :

Formación de la 1ª columna

De la fila 1 se toma el elemento 1 1
De la fila 2 se toma el elemento 2 5
De la fila 3 se toma el elemento 3 9

Formación de la 2ª columna

De la fila 2 se toma el elemento 3 6
De la fila 3 se toma el elemento 1 7
De la fila 1 se toma el elemento 2 2

Formación de la 3ª columna

De la fila 3 se toma el elemento 2 8
De la fila 1 se toma el elemento 3 3
De la fila 2 se toma el elemento 1 4

Tenemos así el esquema :



Sobre el que podemos aplicar de nuevo el algoritmo anterior, y así sucesivamente, para obtener el conjunto :

{A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
B = {1, 5, 9, 6, 7, 2, 8, 3, 4};
C = {1, 7, 4, 2, 8, 5, 3, 9, 6};
D = {1, 8, 6, 5, 3, 7, 9, 4, 2};
E = {1, 3, 2, 7, 9, 8, 4, 6, 5};
F = {1, 9, 5, 8, 4, 3, 6, 2, 7};
G = {1,4,7,3,6,9,2,5,8};
H = {1,6,8,9,2,4,5,7,3}}

Cuyos elementos nos dan el orden de las filas para cada uno de los n-1 C. L. ortogonales de orden 9.
Es interesante resaltar que añadiendo al conjunto anterior el elemento {1,1,1,1,1,1,1,1,1} y considerando el producto :


donde cada componente c_i se obtiene por el producto de los componentes a_i y b_i de acuerdo a la tabla de multiplicar representada por el cuadrado latino inicial, tenemos un grupo multiplicativo finito de orden 9. Lo anterior se cumple para otros conjuntos completos de Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales.

ABCD BADC CDAB DCBA

ABCD BADC CDBA DCAB

ABCD BCDA CDAB DABC

ABCD BDAC CADB DCBA

Para el caso n = 4 tenemos cuatro cuadrados latinos reducidos de los cuales sólo el representado en primer lugar en el esquema anterior, (que coincide con la tabla de multiplicar del grupo de Klein 4) tiene cuatro transversales disjuntas : {A₁₁B₃₄C₄₂D₂₃ ; A₂₂B₄₃C₃₁D₁₄ ; A₃₃B₁₂C₂₄D₄₁ ; A₂₄B₂₁C₁₃D₃₂} por lo qué será el único que posee cocuadrados ortogonales. Dejando fija la primera fila y permutando las restantes, resultan seis Cuadrados Latinos.

1	2	3	4	5	6
ABCD BADC CDAB DCBA	ABCD BADC DCBA CDAB	ABCD CDAB BADC DCBA	ABCD CDAB DCBA BADC	ABCD DCBA BADC CDAB	ABCD DCBA CDAB BADC

De los que obtenemos dos conjuntos completos de (n-1) = 3 C.L.O. : {1,4,5} y {2,3,6}.
Es fácil demostrar que para n = 4 resultan :
{1,4,5} (0, 24, 24) (0x24 + 0x24 + 24x24) x 2 = 1152
{2,3,6} (8, 4, 8) (8x4 + 8x8 + 4x8) x 2 = 256
Es decir, 1408 bases grecolatinas para otros tantos cuadrados mágicos de orden 4, algunos de los cuales serán transformaciones triviales de otros.

EJEMPLO

Tomando los cuadrados 4 y 5 y sustituyendo las letras por los números en su orden natural resultan :

;

Para valores de n distintos de los vistos no sabemos encontrar conjuntos completos de C.L.M.O. pero si podemos obtener parejas de cuadrados latinos ortogonales para diversos casos. Así, por ejemplo, las transformadas según las imágenes de la matriz (1) de orden n, son ortogonales a ella y nos permiten obtener múltiples cuadrados mágicos aplicando adecuadamente la ecuación (2).





Otro método para obtener varios C.L.M.O. se basa en el producto directo de matrices, que ilustramos con un ejemplo (n = 12) :



estos dos cuadrados grecolatinos nos permiten obtener :





Otro método válido para n = 4k es aplicar a un cuadrado latino una permutación como la aplicada a los de orden 2^k. Resulta así otro cuadrado latino ortogonal al original. En este caso, la aplicación sistemática de la permutación considerada no da lugar a un conjunto completo de C.L.M.O. si no sólo a una pareja.


Para el caso n = 3k+1, tenemos un método de obtención de cuadrados grecolatinos que se resume en el siguiente :

ALGORITMO

Obtención de un par de cuadrados latinos ortogonales de orden 3p+1, con p primo impar.

1. Partimos de una matriz de orden 2p+1 de la forma dada en (1) y obtenemos su p-ésima transformada.
   
2. En la esquina inferior izquierda, a partir de la [(2p+1)+1]-ésima fila y la [(2p+1)+1]-ésima columna, se coloca un Cuadrado Latino de orden n construido con los elementos segundo al (p+1)-ésimo.
   
3. Comenzando en la 2ª columna de la 1ª fila y desplazándose una columna hacia la derecha y una fila hacia abajo, cada vez, se sustituyen los elementos colocados en las celdas correspondientes por el [(2p+1)+1]-ésimo elemento y se colocan estos, en el orden en que se han retirado, en la [(2p+1)+1]-ésima columna. Cuando se alcance la (2p+1)-ésima columna se continúa a partir de la primera hasta llegar a la (2p+1)-ésima fila.
   
4. Se repite el paso anterior hasta la columna (p+1)-ésima pero colocando en cada caso el [(2p+1)+2]-ésimo ,..., [(2p+1)+p]-ésimo elemento.
   
5. El elemento retirado de la primera columna y (2p+1)-ésima fila y que ha sido sustituido por el [(2p+1)+1]-ésimo elemento, se coloca en la primera columna de la [(2p+1)+1]-ésima fila y a partir de él los restantes manipulados en la misma acción.
   
6. Se repite el paso anterior hasta llegar a la (p+1)-ésima fila de la primera columna, con lo que se habrá completado la [(2p+1)+p]-ésima fila.
   
7. Con los pasos dados se ha obtenido uno de los cocuadrados latinos.
   
8. Se traspone (se cambian filas y columnas) el cuadrado latino obtenido, pero sustituyendo el subcuadrado latino formado en la esquina inferior derecha por un Cuadrado Latino Ortogonal al formado en el paso 2.

Fin del algoritmo.

El esquema gráfico para n = 22 = 3x7 + 1, sería :

PASOS 1 y 2

PASOS 3 a 7

PASO 8

CUADRADO GRECOLATINO DE ORDEN 22

EJEMPLO

La aplicación del algoritmo anterior a n = 10, nos permite obtener, entre otros muchos:






BIBLIOGRAFIA

[1] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter

[2] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.

[3] "Análisis Combinatorio" de K. Ribnikov, Editorial Mir.

[4] "Matemática Discreta" de N. L. Biggs, Editorial Vicens Vives.

[5] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M. Gadner, Alianza editorial.

[6] "Special matrices and their applications in numerical mathematics" de M. Fiedler.

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