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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

CUADRADOS MÁGICOS

 

CUADRADOS MÁGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS

este artículo es la continuación del titulado:

CUADRADOS LATINOS PARA OBTENER CUADRADOS MÁGICOS

La cantidad de cuadrados mágicos que estimamos posible obtener por el método de cuadrados grecolatinos resulta de :
    (n-2)! Cuadrados latinos reducidos válidos
    (n-2)! Familias de conjuntos completos para cada C.L.R. válido
    (n-1) Cuadrados latinos en cada familia completa
    (n-1)n Parejas a combinar en la fórmula (2)
    n! Posibilidades numéricas para cada cuadrado latino.
De donde :
    \( C = [(n-2)!]^2; * (n-1)^2 * n! * n\)
Desarrollando las posibles combinaciones ortogonales entre los cuadrados latinos de orden 5, hemos encontrado los siguientes conjuntos completos :

En las familias 1 y 3 :

{1,11,14,24}; {2,12,13,23}; {3,8,17,22}; {4,7,18,21}; {5,10,15,20}; {6,9,16,19}

En las familias 4 y 6 :

{1,8,18,23}; {2,7,17,24}; {3,11,16,20}; {4,12,15,19}; {5,9,14,22}; {6,10,13,21}

En las familias 2 y 5 :

{1,10,17,19}; {2,9,18,20}; {3,12,14,21}; {4,11,13,22}; {5,7,16,23}; {6,8,15,24}

Teniendo en cuenta que una de las condiciones que ha de cumplir cada cuadrado latino para ser la base de un cuadrado mágico es que la suma de los números de las diagonales sea igual a 10(la suma de las filas y columnas ya es trivialmente 10, hemos considerado las posibles combinaciones de 5 elementos de los dígitos 0,1, 2, 3 y 4 cuya suma sea igual a 10. estas combinaciones, salvo permutación, son :
    (0,0,2,4,4) (0,0,3,3,4) (0,1,1,4,4) (0,1,2,3,4) (0,1,3,3,3) (0,2,2,2,4)
    (0,2,2,3,3) (1,1,1,3,4) (1,1,2,2,4) (1,1,2,3,3) (1,2,2,2,3) (2,2,2,2,2)
EJEMPLOS

Tomando los cuadrados 1º y 8º de la sexta familia, resulta :
    \(\begin{array}{l} \left( \begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\ B & E & A & C & D \\ C & A & D & E & B \\ D & C & E & B & A \\ E & D & B & A & C \\ \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\ C & A & D & E & B \\ B & E & A & C & D \\ E & D & B & A & C \\ D & C & E & B & A \\ \end{array} \right) \rightarrow \\ \\ \rightarrow \left( \begin{array}{ccccc} AA & BB & CC & DD & EE \\ BC & EA & AD & CE & DB \\ CB & AE & DA & EC & BD \\ DE & CD & EB & BA & AC \\ ED & DC & BE & AB & CA \\ \end{array} \right) \end{array}\)
cuadrado grecolatino

Para el cuadrado nº 1 tenemos :

Diagonal directa → sin restricciones → 120 posibilidades
Diagonal inversa → ECDCE → (00244),(00334),(01144),(02233),(11224),(11233)

En cada uno de estos 6 grupos podemos permutar las letras E y C, y en cada subgrupo resultante las letras A y B con los valores restantes. Todo ello nos da : 6x2x2 = 24 C.L. distintos.

Para el cuadrado nº 8 tenemos :
Diagonal directa → AAAAA → (22222) → 24 posibilidades.
Diagonal inversa → EEADD → Si no tuviéramos mas restricciones, resultarían 24 posibilidades de acuerdo a lo visto para el cuadrado nº 1, pero como A solo puede valer 2, nos quedan los grupos (00244) y (11233); ello nos da : 2x2x2 = 8 C. L. distintos.

La combinación del 1º y 8º cuadrados nos permite 24x8 bases grecolatinas para otros tantos cuadrados mágicos de orden 5 con cada una de las fórmulas de (2). Como ejemplos numéricos podemos poner :

cuadrados mágicos

Operando de igual forma con el resto de cuadrados obtenemos la tabla siguiente para n = 5 :

CONJUNTO
POSIBILIDADES
SUBTOTAL 1
SUBTOTAL 2
TOTAL
{1,8,18,23}
{2,7,17,24}
{3,11,16,20}
{4,12,15,19}
{5,9,14,22}
{6,10,13,21}
{1,11,14,24}
{2,12,13,23}
{3,8,17,22}
{4,7,18,21}
{5,10,15,20}
{6,9,16,19}
{1,10,17,19}
{2,9,18,20}
{3,12,14,21}
{4,11,13,22}
{5,7,16,23}
{6,8,15,24}
(24,8,16,16)
(2,2,6,6)
(16,4,6,6)
6,6,4,16)
(24,8,16,16)
(2,2,6,6)
(24,120,120,24)
(2,6,6,2)
(2,6,6,2)
(6,2,2,6)
(12,4,4,12)
(2,6,6,2)
(24,16,8,16)
(16,8,16,24)
(16,6,4,6)
(6,2,6,2)
(6,2,6,2)
(16,6,4,6)
(24,24,120,120)
(2,2,6,6)
(2,2,6,6)
(12,12,4,4)
(6,6,2,2)
(2,2,6,6)
(24,16,16,8)
(16,24,8,16)
(2,6,6,2)
(6,16,4,6)
(2,6,6,2)
(6,16,4,6)
(24,16,8,16)
(2,6,2,6)
(2,6,2,6)
(24,16,8,16)
(6,16,6,4)
(16,6,4,6)
1472
88
340
340
1472
88
26496
88
88
88
352
88
1472
1472
340
88
88
340
26496
88
88
352
88
88
1472
1472
88
340
88
340
1472
88
88
1472
340
340
27968
176
428
692
1560
176
27968
1560
176
428
2944
1560
428
1560
428
1560
428
680

La suma de los valores de la columna TOTAL nos da 69.600 cuadrados grecolatinos para otros tantos cuadrados mágicos de orden 5 obtenidos a partir de la expresión (2). Algunos de dichos cuadrados podrán ser transformaciones triviales de otros. Como puede verse, esta cantidad es bastante inferior a la cota dada por C (es del orden de C/n)

Para n = pk (k>2) también sabemos obtener un conjunto completo de C.L.M.O. Dicho conjunto completo puede obtenerse, para el caso p = 2, a partir de un cuadrado latino de orden 2k de la forma :



donde cada aij es una matriz cuadrada de orden 2k-1 con la misma estructura que A, es decir :

cuadrados mágicos

y así sucesivamente.

Para cualquier matriz como A, la aplicación sistemática de la permutación :

cuadrados mágicos
Así, por ejemplo, para n = 2³ tenemos la permutación :



que nos permite obtener el siguiente conjunto completo de Cuadrados Latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O) :

cuadrados mágicos

cuadrados mágicos

Es fácil comprobar que aplicando la permutación considerada al último de los cuadrados obtenidos, resulta otra vez el primero de ellos.

Si p es un primo distinto de 2,un método sencillo de implementar para n = p² y que ilustramos para p = 3 → n = 9, es el siguiente : Consideramos el cuadrado Ap de la ecuación G y su transformada (p-1)-ésima, junto con un cuadrado formado por los elementos 1 a n = p²



Como cuadrado latino inicial consideramos :

cuadrado latino

Para el que puede verse que está formado como producto directo de dos cuadrados latinos iguales de orden p = 3.
Un conjunto completo de cuadrados latinos mutuamente ortogonales C.L.M.O. de orden n = p² se obtiene con la siguiente pauta : Se toman los elementos 1 a n = p² de la primera columna y se colocan en una sola fila : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ese sería el orden de las filas para el primero de los cuadrados latinos. El siguiente, obtenido a partir de él , se formaría reordenando como sigue el cuadrado formado por los p² elementos :

Formación de la 1ª columna
    De la fila 1 se toma el elemento 1 → 1
    De la fila 2 se toma el elemento 2 → 5
    De la fila 3 se toma el elemento 3 → 9
Formación de la 2ª columna
    De la fila 2 se toma el elemento 3 → 6
    De la fila 3 se toma el elemento 1 → 7
    De la fila 1 se toma el elemento 2 → 2
Formación de la 3ª columna
    De la fila 3 se toma el elemento 2 → 8
    De la fila 1 se toma el elemento 3 → 3
    De la fila 2 se toma el elemento 1 → 4
Tenemos así el esquema :

cuadrados mágicos

Sobre el que podemos aplicar de nuevo el algoritmo anterior, y así sucesivamente, para obtener el conjunto :

{A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; B = {1, 5, 9, 6, 7, 2, 8, 3, 4}; C = {1, 7, 4, 2, 8, 5, 3, 9, 6};
D = {1, 8, 6, 5, 3, 7, 9, 4, 2}; E = {1, 3, 2, 7, 9, 8, 4, 6, 5}; F = {1, 9, 5, 8, 4, 3, 6, 2, 7};
G = {1,4,7,3,6,9,2,5,8}; H = {1,6,8,9,2,4,5,7,3}}

Cuyos elementos nos dan el orden de las filas para cada uno de los n-1 C. L. ortogonales de orden 9.
Es interesante resaltar que añadiendo al conjunto anterior el elemento {1,1,1,1,1,1,1,1,1} y considerando el producto :

cuadrados mágicos
donde cada componente ci se obtiene por el producto de los componentes ai y bi de acuerdo a la tabla de multiplicar representada por el cuadrado latino inicial, tenemos un grupo multiplicativo finito de orden 9. Lo anterior se cumple para otros conjuntos completos de Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales.

ABCD
BADC
CDAB
DCBA
ABCD
BADC
CDBA
DCAB
ABCD
BCDA
CDAB
DABC
ABCD
BDAC
CADB
DCBA

Para el caso n = 4 tenemos cuatro cuadrados latinos reducidos de los cuales sólo el representado en primer lugar en el esquema anterior, (que coincide con la tabla de multiplicar del grupo de Klein 4) tiene cuatro transversales disjuntas : {A11B34C42D23 ; A22B43C31D14 ; A33B12C24D41 ; A24B21C13D32} por lo qué será el único que posee cocuadrados ortogonales. Dejando fija la primera fila y permutando las restantes, resultan seis Cuadrados Latinos.

1
2
3
4
5
6
ABCD
BADC
CDAB
DCBA
ABCD
BADC
DCBA
CDAB
ABCD
CDAB
BADC
DCBA
ABCD
CDAB
DCBA
BADC
ABCD
DCBA
BADC
CDAB
ABCD
DCBA
CDAB
BADC

De los que obtenemos dos conjuntos completos de (n-1) = 3 C.L.O. : {1,4,5} y {2,3,6}.
Es fácil demostrar que para n = 4 resultan :
{1,4,5} → (0, 24, 24) → (0x24 + 0x24 + 24x24) x 2 = 1152
{2,3,6} → (8, 4, 8) → (8x4 + 8x8 + 4x8) x 2 = 256
Es decir, 1408 bases grecolatinas para otros tantos cuadrados mágicos de orden 4, algunos de los cuales serán transformaciones triviales de otros.

EJEMPLO

Tomando los cuadrados 4 y 5 y sustituyendo las letras por los números en su orden natural resultan :

; cuadrados mágicos

Para valores de n distintos de los vistos no sabemos encontrar conjuntos completos de C.L.M.O. pero si podemos obtener parejas de cuadrados latinos ortogonales para diversos casos. Así, por ejemplo, las transformadas según las imágenescuadrados mágicos de la matriz (1) de orden n, son ortogonales a ella y nos permiten obtener múltiples cuadrados mágicos aplicando adecuadamente la ecuación (2).

cuadrado mágico de orden 15 cuadrado mágico de  dimensión 15

Otro método para obtener varios C.L.M.O. se basa en el producto directo de matrices, que ilustramos con un ejemplo (n = 12) :

producto directo de matrices

estos dos cuadrados grecolatinos nos permiten obtener :

cuadrado grecolatino cuadrado grecolatino

Otro método válido para n = 4k es aplicar a un cuadrado latino una permutación como la aplicada a los de orden 2k. Resulta así otro cuadrado latino ortogonal al original. En este caso, la aplicación sistemática de la permutación considerada no da lugar a un conjunto completo de C.L.M.O. si no sólo a una pareja.

cuadrados latinos y grecolatinos
Para el caso n = 3k+1, tenemos un método de obtención de cuadrados grecolatinos que se resume en el siguiente :

ALGORITMO PARA LA OBTENCIÓN DE CUADRADOS GRECOLATINOS


BIBLIOGRAFIA

[1] "Mathematical Recreations & Essays" de W. W. Rouse Ball y H. S. M. Coxeter

[2] "Problemas y experimentos recreativos" de Ya. I. Perelman.

[3] "Análisis Combinatorio" de K. Ribnikov, Editorial Mir.

[4] "Matemática Discreta" de N. L. Biggs, Editorial Vicens Vives.

[5] "Nuevos pasatiempos matemáticos" de M. Gadner, Alianza editorial.

[6] "Special matrices and their applications in numerical mathematics" de M. Fiedler.
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tema escrito por: José Antonio Hervás