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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

CUADRADOS LATINOS

 

CUADRADOS LATINOS PARA OBTENER CUADRADOS MÁGICOS

Resultados generales sobre cuadrados mágicos pueden encontrarse, entre otros muchos libros, en [1] y [2].

En lo que sigue, vamos a mostrar algunos resultados propios. Antes consideraremos algunas

DEFINICIONES

Cuadrado Latino.- Matriz cuadrada de orden n en la que cada fila y cada columna son permutaciones de los elementos de un conjunto finito S compuesto de n elementos [3], [4].

Cuadrado Latino reducido.- (o Cuadrado Latino de forma estándar) Si los elementos de su primera fila y de su primera columna vienen dispuestos en el orden natural [3].

Transversal de un Cuadrado Latino.- Es el conjunto\(T = [(i_1, j_1), (i_2, j_2),\cdots ,(i_n, j_n)]\) formado por n células o elementos del Cuadrado Latino para el que se cumple que

    \(Si: \; i_k \neq i_i , j_k \neq j_i \Rightarrow a_{i_i,j_i} \neq a_{i,j}, \forall \; k \neq l \quad [3]\)

Cuadrados Latinos ortogonales.- Son un par de cuadrados latinos, A = ||aij|| ; B = ||bij|| , de orden n tales que :

    \((a_{ij}, b_{ij})\neq (a_{kl}, b_{kl})\; \forall (i,j)\neq (k,l); i,j,k,l \in S = {1,2,\cdots, n} \quad [3], [4]\)
Dos cuadrados latinos de tamaño n son ortogonales si cuando se superponen uno encima del otro, cada una de las p² parejas obtenidas ocurre una sola vez.
Un cuadrado latino A, de orden n, tiene otro ortogonal sii en A existen n transversales disjuntas.

Varios cuadrados latinos de un mismo orden se llaman ortogonales dos a dos si cualesquiera dos de ellos son ortogonales.. Un conjunto de n-1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O.), (en inglés MOLS), se denomina completo.

Cuadrado Grecolatino.- (o Cuadrado de Euler) es el obtenido por la superposición de dos cuadrados latinos ortogonales entre si [5].

Cuadrado mágico.- es una disposición de n² números colocados en una tabla de n x n celdas de tal modo que la suma de todas y cada una sus columnas, filas o diagonales sea igual a un valor constante. Cuando los números que se disponen son los incluidos entre 1 y n² , la suma mágica vale (n)( n² +1)/2.

DESARROLLO

En primer lugar, consideramos la obtención de grupos de Cuadrados Latinos Ortogonales. Para n primo impar, consideremos un cuadrado de la forma (1) :
    \(\left[ \begin{array}{ccccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & . & a_{1n} \\ a_{12} & a_{13} & a_{14} & . & . & a_{1n} & a_{11} \\ a_{13} & a_{14} & . & . & a_{1n} & a_{11}& a_{12} \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & a_{1n} &  &  &  &  & a_{1,n-2} \\ a_{1n} & a_{11} & a_{12}& . & . & a_{1,n-2} & a_{1,n-1} \\ \end{array} \right]\)
Conocido como matriz de Henkel [6] y que nosotros denominaremos cuadrado generatriz, por ser el origen de los demás ortogonales a él y también de otros conjuntos completos.

Para construir (n-2) Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales entre sí y con A, obtenemos las imágenes
    \(a_{11}^2,a_{12}^2, \cdots, a_{1n}^2,a_{11}^3,a_{12}^3, \cdots,a_{1n}^3 , \cdots,a_{11}^{n-1},a_{12}^{n-1}, \cdots, a_{1n}^{n-1}\)
de los elementos de la primera columna de A considerando dicha tabla como la de multiplicar de un grupo.

La columna formada con cada conjunto de imágenes,\(a_{11}^i, a_{12}^i, \cdots, a_{1n}^i \; ;\; 2\leq i\leq n-1\) , será la que indique la permutación que debemos realizar con las filas de A para obtener un cuadrado latino ortogonal con A.

La obtención de un Cuadrado Mágico a partir de dos cuadrados latinos ortogonales,\(A_{nss}^i \; y \; A_{nss}^j\) , se hace sustituyendo las letras por los números naturales {0,1,2,...,n-1} en :
    \( [1]+ A_{nss}^i + n\ast A_{nss}^j\quad (2)\)
Donde [1] es una matriz de orden n formada enteramente por unos y de tal modo que la suma de todas las filas, columnas y diagonales de\(A_{nss}^i \; y \; A_{nss}^j\) valgan n(n-1)/2.

Por definición, las filas y columnas de un cuadrado latino ya suman la cantidad indicada, por lo que la restricción para el número de cuadrados mágicos obtenibles vendrá dada por las posibilidades de las diagonales directa e inversa.

EJEMPLO de conjunto completo de Cuadrados Latinos mutuamente ortogonales (CLMO) para n = 5

Sobre la base de mantener un cuadrado latino reducido, podemos realizar diversas permutaciones para obtener otros conjuntos completos de C.L.M.O. Lógicamente, en la posición (2,2) de (1) no pueden colocarse ni el primero ni el segundo de los elementos, por lo que tendremos (n-2)! Cuadrados latinos reducidos distintos pero isomorfos entre sí o transformables unos en otros por reasignación de sus elementos.

Para n = 5, tenemos :
1
2
3
4
5
6
ABCDE
BCDEA
CDEAB
DEABC
EABCD
ABCDE
BCEAD
CEDBA
DABEC
EDACB
ABCDE
BDECA
CEBAD
DCAEB
EADBC
ABCDE
BDAEC
CAEBD
DEBCA
ECDAB
ABCDE
BEDAC
CDBEA
DAECB
ECABD
ABCDE
BEACD
CADEB
DCEBA
EDBAC

Para cada uno de estos (n-2)! cuadrados latinos reducidos y simétricos se obtienen (n-1)! Cuadrados Latinos equivalentes salvo permutación de sus filas. La representación de cada uno de los cuadrados latinos de cada grupo puede hacerse anotando su primera columna y teniendo en cuenta que el cuadrado completo se obtiene a partir de\( A_{n1k}^1 \; con \; 1 \leq k \leq (n-2)!\) colocando las filas según el orden dado por dicha primera columna.

Este artículo continua en el titulado:

CUADRADOS MÁGICOS OBTENIDOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás