CUADRADOS
LATINOS PARA OBTENER CUADRADOS MÁGICOS
Resultados
generales sobre cuadrados mágicos pueden encontrarse, entre otros
muchos libros, en [1] y [2].
En lo que sigue, vamos a mostrar algunos resultados propios. Antes consideraremos
algunas
DEFINICIONES
Cuadrado Latino.- Matriz cuadrada de orden n
en la que cada fila y cada columna son permutaciones de los elementos
de un conjunto finito S compuesto de n elementos [3], [4].
Cuadrado Latino reducido.- (o Cuadrado Latino
de forma estándar) Si los elementos de su primera fila y de su
primera columna vienen dispuestos en el orden natural [3].
Transversal de un Cuadrado Latino.- Es el conjunto
formado
por n células o elementos del Cuadrado Latino para el que se cumple
que
si : [3]
Cuadrados Latinos ortogonales.- Son un par de cuadrados
latinos,
, de orden n tales que : .
[3], [4]
Dos cuadrados latinos de tamaño n son ortogonales si cuando se
superponen uno encima del otro, cada una de las p2 parejas
obtenidas ocurre una sola vez.
Un cuadrado latino A, de orden n, tiene otro ortogonal sii en A existen
n transversales disjuntas.
Varios cuadrados latinos de un mismo orden se llaman ortogonales
dos a dos si cualesquiera dos de ellos son ortogonales..
Un conjunto de n-1 cuadrados latinos mutuamente ortogonales (C.L.M.O.),
(en inglés MOLS), se denomina completo.
Cuadrado Grecolatino.- (o Cuadrado de Euler)
es el obtenido por la superposición de dos cuadrados latinos ortogonales
entre si [5].
Cuadrado mágico.- es una disposición
de n2 números colocados en una tabla de n x n celdas
de tal modo que la suma de todas y cada una sus columnas, filas o diagonales
sea igual a un valor constante. Cuando los números que se disponen
son los incluidos entre 1 y n2 , la suma mágica vale
(n)( n2 +1)/2.
DESARROLLO
En primer lugar, consideramos la obtención de grupos de Cuadrados
Latinos Ortogonales. Para n primo impar, consideremos un cuadrado de la
forma (1) :

Conocido como matriz de Henkel [6] y que nosotros denominaremos cuadrado
generatriz, por ser el origen de los demás ortogonales a él
y también de otros conjuntos completos.
Para construir (n-2) Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales entre sí
y con A, obtenemos las imágenes
de los elementos de la primera columna de A considerando dicha tabla como
la de multiplicar de un grupo.
La columna formada con cada conjunto de imágenes,
, será la que indique la permutación que debemos realizar
con las filas de A para obtener un cuadrado latino ortogonal con A.
La obtención de un Cuadrado Mágico a partir de dos cuadrados
latinos ortogonales, Ainss y Ajnss,
se hace sustituyendo las letras por los números naturales {0,1,2,...,n-1}
en :

Donde [1] es una matriz de orden n formada enteramente
por unos y de tal modo que la suma de todas las filas, columnas y diagonales
de Ainss y Ajnss
valgan n(n-1)/2.
Por definición, las filas y columnas de un cuadrado latino ya suman
la cantidad indicada, por lo que la restricción para el número
de cuadrados mágicos obtenibles vendrá dada por las posibilidades
de las diagonales directa e inversa.
EJEMPLO
Para n = 5 tenemos el siguiente conjunto completo de C.L.M.O. :

Considerando, por ejemplo A2511 ; A3511
y A4nss con valores respectivos :

y combinándolas dos a dos, podemos obtener los cuadrados mágicos
:

Podemos ver que existen otros conjuntos completos de C.L.M.O. de orden
5, observando que las primeras columnas de los 4 cuadrados que forman
el conjunto obtenido pueden hacerse corresponder con otros tantos elementos
del grupo de las sustituciones S4, que tiene 4! = 24 elementos
:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
A
B
C
D
E
|
A
B
C
E
D
|
A
B
D
C
E
|
A
B
D
E
C
|
A
B
E
C
D
|
A
B
E
D
C
|
A
C
B
D
E
|
A
C
B
E
D
|
A
C
D
B
E
|
A
C
D
E
B
|
A
C
E
B
D
|
A
C
E
D
B
|
A
D
B
C
E
|
A
D
B
E
C
|
A
D
C
B
E
|
A
D
C
E
B
|
A
D
E
B
C
|
A
D
E
C
B
|
A
E
B
C
D
|
A
E
B
D
C
|
A
E
C
B
D
|
A
E
C
D
B
|
A
E
D
B
C
|
A
E
D
C
B
|
Es
decir, tenemos la correspondencia :
Tomando cualquier otra sustitución de S4 y multiplicando
por sí mismo cada uno de sus elementos, según la tabla (1)
de orden 5, resultan los siguientes conjuntos disjuntos :

Siendo, por ejemplo, Ai521:

Que Ai521 y Ai511
darán, en general, cuadrados mágicos distintos puede verse
sin más que comparar las diagonales correspondientes.
Sobre la base de mantener un cuadrado latino reducido, podemos realizar
diversas permutaciones para obtener otros conjuntos completos de C.L.M.O.
Lógicamente, en la posición (2,2) de (1) no pueden colocarse
ni el primero ni el segundo de los elementos, por lo que tendremos (n-2)!
Cuadrados latinos reducidos distintos pero isomorfos entre sí o
transformables unos en otros por reasignación de sus elementos.
Para n = 5, tenemos :
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ABCDE
BCDEA
CDEAB
DEABC
EABCD
|
ABCDE
BCEAD
CEDBA
DABEC
EDACB
|
ABCDE
BDECA
CEBAD
DCAEB
EADBC
|
ABCDE
BDAEC
CAEBD
DEBCA
ECDAB
|
ABCDE
BEDAC
CDBEA
DAECB
ECABD
|
ABCDE
BEACD
CADEB
DCEBA
EDBAC
|
Para cada uno de estos (n-2)! cuadrados latinos reducidos y simétricos
se obtienen (n-1)! Cuadrados Latinos equivalentes salvo permutación
de sus filas. La representación de cada uno de los cuadrados latinos
de cada grupo puede hacerse anotando su primera columna y teniendo en
cuenta que el cuadrado completo se obtiene a partir de colocando
las filas según el orden dado por dicha primera columna.
Este artículo continua en el titulado:
CUADRADOS
MÁGICOS A PARTIR DE CUADRADOS LATINOS
|