DEDUCCIÓN
DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un elemento q de un anillo A es divisible por otro elemento t
si existe un p tal que :
Decimos entonces que t divide a q y q se denomina múltiplo
del elemento t, siendo t divisor del elemento q.
En el anillo de los enteros existen reglas para determinar si
un elemento es divisible por otro. La validez de estas reglas
puede determinarse por diversos métodos entre los que cabe
citar el método de congruencias o aritmética modular
[1], [2].
En lo que sigue, expondremos un método general para obtener
criterios de divisibilidad para cualquier elemento de un anillo
asociativo conmutativo.
Para cualquier conjunto de n elementos de un anillo con un divisor
común, tenemos :
donde cada aij y cada xk son elementos del anillo considerado.
El sistema de ecuaciones expuesto puede agruparse en forma matricial
:
Y de esta ecuación, mediante los métodos del álgebra
lineal, podemos despejar cada xi en función del resto de
los elementos
Siendo
el
determinante de la matriz {aij} dada en (3) y Ri la componente
i-ésima del producto de la matriz traspuesta de la adjunta
de {aij} y el vector P.
Todos los factores anteriores son elementos del anillo A [1] con
lo que podemos poner :
En este caso (Ri/xi) es necesariamente un elemento del anillo
A puesto que
y
t lo son. Todo lo anterior implica que
es
múltiplo de t.
APLICACIONES AL ANILLO DE LOS
ENTEROS
1º. regla de divisibilidad por 9 (y 3) : 9 = 10-1 = 10.1
+ 1.(-1)
Si escribimos cualquier número en la forma :
tendremos :
y a partir de ahí diremos que n es múltiplo de 9
(de 3) si lo es la suma de sus componentes r y s.
Aplicando reiteradamente el resultado obtenido a un número
de la forma (10) :
tendremos :
y llegamos a la regla ya conocida: "Un número es divisible
por 9 o por 3 cuando lo es la suma de sus cifras".
2º.- Regla de divisibilidad por 11 : 11 = 10 + 1 = 10.1 +
1.1
tomando para n la expresión dada en (10) obtenemos :
y aplicando la relación obtenida a la ecuación (7),
obtenemos la regla de divisibilidad por 11 : "Un número
es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las
cifras pares y las impares es múltiplo de 11 o cero".
3º.- Regla de divisibilidad por 7
Tenemos : 7x3 = 21 = 20 + 1 = 2.10 + 1.1 ; 7x7 = 49 = 50 - 1 =
5.10 + 1.(-1)
y resultan las expresiones :
que son formalmente iguales si consideramos que se cumple -2 ≡
5 (mod 7):
Tomando la primera de ellas y aplicándola iteradamente
a un número de la forma (7) resulta :
Pero teniendo en cuenta equivalencias modulares respecto al número
7 podemos escribir :
y podemos enunciar la regla según la cual: "Un número
es divisible por 7 si una vez su cifra más significativa
menos 2 veces su siguiente cifra más 4 veces su siguiente
cifra menos una vez ... es cero o múltiplo de 7"
EJEMPLO 1 DE APLICACIÓN
DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Cualquier otra regla que queramos deducir es equivalente a la
obtenida, sea cual sea el número de factores que tomemos.
De modo análogo obtenemos las siguientes reglas de divisibilidad
:
para 13 → r + 4.s ; r - 9.s ; para 17 → r - 5.s ; r
+ 12.s
para 19 → r + 2.s ; r - 17.s ; para 23 → r + 7.s ; r
- 16.s
para 29 → r + 3.s ; r - 26.s ; para 31 → r - 3.s ; r
+ 28.s
para 37 → r - 11.s ; r + 26.s ; para 41 → r - 4.s ;
r + 37.s
para 43 → r + 13.s ; r - 30.s ; para 47 → r - 14.s ;
r + 33.s
para 53 → r + 16.s ; r - 37.s ; para 59 → r + 6.s ;
r - 53.s
para 61 → r - 6.s ; r + 55.s ; para 67 → r - 20.s ;
r + 47.s
para 71 → r - 7.s ; r + 64.s ; para 73 → r + 22.s ;
r - 51.s
para 79 → r + 8.s ; r - 71.s ; para 83 → r + 25.s ;
r - 58.s
para 89 → r + 9.s ; r - 80.s ; para 97 → r - 29.s ;
r + 68.s
Escribiendo un número natural en la forma n = 100·r
+ s:
podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:
para 11 → r + s ; para 101 → r - s
Escribiendo un número natural en la forma n = 1000·r
+ s:
podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:
para 37 → r + s ; para 13 → r - s ; para 7 → r
- s
Puedes ver en el siguiente enlace numerosos ejemplos de aplicación
de los
criterios de divisibilidad
BIBLIOGRAFIA
1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.
2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios
de matemática discreta, Ed A.V.L.
3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica
de números. Ed. Reverté
4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez.
Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.