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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

 

DEDUCCIÓN DE CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un elemento q de un anillo A es divisible por otro elemento t si existe un p tal que :
    \(q = p·t \quad ; \quad q,p,t \in A \)
Decimos entonces que t divide a q y q se denomina múltiplo del elemento t, siendo t divisor del elemento q.

En el anillo de los enteros existen reglas para determinar si un elemento es divisible por otro. La validez de estas reglas puede determinarse por diversos métodos entre los que cabe citar el método de congruencias o aritmética modular [1], [2].

En lo que sigue, expondremos un método general para obtener criterios de divisibilidad para cualquier elemento de un anillo asociativo conmutativo.

Para cualquier conjunto de n elementos de un anillo con un divisor común, tenemos :

    \(\begin{array}{l} q_1 = tp_1 = a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n \\ \\ q_n = tp_n = a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n \end{array} \)
donde cada \( a_{ij} \) y cada \( x_k \) son elementos del anillo considerado.

El sistema de ecuaciones expuesto puede agruparse en forma matricial :

    \(\left(
    \begin{array}{ccc}
    a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
    ·& \cdots & · \\
    a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\
    \end{array}
    \right)\left( \begin{array}{l} x_1 \\ \\ x_n \\ \end{array} \right) = t \left( \begin{array}{l} p_1 \\ \\ p_n \\ \end{array} \right) \)
Y de esta ecuación, mediante los métodos del álgebra lineal, podemos despejar cada \( x_i \) en función del resto de los elementos
    \(\displaystyle x_i = \frac{t}{|A|}R_i \)
Siendo \( |A| \) el determinante de la matriz {aij} dada en (3) y \( R_i \) la componente i-ésima del producto de la matriz traspuesta de la adjunta de {aij} y el vector P.

Todos los factores anteriores son elementos del anillo A [1] con lo que podemos poner :
    \(\displaystyle |A| = t\frac{R_i}{x_i} \)
En este caso (Ri/xi) es necesariamente un elemento del anillo A puesto que \( |A| \) y t lo son. Todo lo anterior implica que\( |A| \) es múltiplo de t.

APLICACIONES AL ANILLO DE LOS ENTEROS

1º. regla de divisibilidad por 9 (y 3) : 9 = 10-1 = 10.1 + 1.(-1)

Si escribimos cualquier número en la forma :
    \(n = 10·r + 1·s\)
tendremos :
    \(\left(
    \begin{array}{cc}
    1 & -1 \\
    r & s \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    10 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right) = 9 \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    p \\
    \end{array}
    \right)\; \rightarrow (r+s|9) \)
y a partir de ahí diremos que n es múltiplo de 9 (de 3) si lo es la suma de sus componentes r y s.

Aplicando reiteradamente el resultado obtenido a un número de la forma (10) :

    \(n = a + 10b + 10^2c + 10^3d + 10^4e + 10^5f + 10^6g+ \cdots\)
tendremos :
    \(\begin{array}{l} a + b + 10c + 10^2d + \cdots\\ \\ a + b + c + 10d + \cdots \\ \\ a + b + c + d + \cdots \end{array} \)
y llegamos a la regla ya conocida: "Un número es divisible por 9 o por 3 cuando lo es la suma de sus cifras".

2º.- Regla de divisibilidad por 11 : 11 = 10 + 1 = 10.1 + 1.1
    \(\left(
    \begin{array}{cc}
    1 & 1 \\
    r & s \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    10 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right) = 11 \left(
    \begin{array}{c}
    1 \\
    p \\
    \end{array}
    \right)\; \rightarrow (r+s|11) \)
tomando para n la expresión dada en (10) obtenemos :
    \(\begin{array}{l} g- 2f + 4e - d + 2c - 4b + a = \\ \\ g - 2f + 4e - (d-2c + 4b) + a \end{array} \)
y aplicando la relación obtenida a la ecuación (7), obtenemos la regla de divisibilidad por 11 : "Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras pares y las impares es múltiplo de 11 o cero".

3º.- Regla de divisibilidad por 7

Tenemos : 7x3 = 21 = 20 + 1 = 2.10 + 1.1 ; 7x7 = 49 = 50 - 1 = 5.10 + 1.(-1)

y resultan las expresiones :
    \((r-2s|7)\;; \; (r + 5s|7) \)
que son formalmente iguales si consideramos que se cumple -2 ≡ 5 (mod 7):

Tomando la primera de ellas y aplicándola iteradamente a un número de la forma (7) resulta :

    \(\cdots g - 2f+4e-8d+16c-32b+64a \)
Pero teniendo en cuenta equivalencias modulares respecto al número 7 podemos escribir :

y podemos enunciar la regla según la cual: "Un número es divisible por 7 si una vez su cifra más significativa menos 2 veces su siguiente cifra más 4 veces su siguiente cifra menos una vez ... es cero o múltiplo de 7"

EJEMPLO 1 DE APLICACIÓN DE REGLAS DE DIVISIBILIDAD

    \(\begin{array}{l} 3024167 \rightarrow 1\times 3 - 2\times 0 + 2\times 4 - (1 \times 4 - 2 \times 1 + 4 \times 6) + 1 \times 7 =\\\\ 11 - 26 + 7 = -8 \rightarrow NO \\ \\ 3124065 \rightarrow 1\times 3 - 2\times 1 + 2\times 4 - (1 \times 4 - 2 \times 0 + 4 \times 6) + 1 \times 5 =\\\\ 9 - 28 + 5 = -14 \rightarrow SI \end{array} \)
Cualquier otra regla que queramos deducir es equivalente a la obtenida, sea cual sea el número de factores que tomemos.

De modo análogo obtenemos las siguientes reglas de divisibilidad :

para 13 → r + 4.s ; r - 9.s ; para 17 → r - 5.s ; r + 12.s

para 19 → r + 2.s ; r - 17.s ; para 23 → r + 7.s ; r - 16.s

para 29 → r + 3.s ; r - 26.s ; para 31 → r - 3.s ; r + 28.s

para 37 → r - 11.s ; r + 26.s ; para 41 → r - 4.s ; r + 37.s

para 43 → r + 13.s ; r - 30.s ; para 47 → r - 14.s ; r + 33.s

para 53 → r + 16.s ; r - 37.s ; para 59 → r + 6.s ; r - 53.s

para 61 → r - 6.s ; r + 55.s ; para 67 → r - 20.s ; r + 47.s

para 71 → r - 7.s ; r + 64.s ; para 73 → r + 22.s ; r - 51.s

para 79 → r + 8.s ; r - 71.s ; para 83 → r + 25.s ; r - 58.s

para 89 → r + 9.s ; r - 80.s ; para 97 → r - 29.s ; r + 68.s

Escribiendo un número natural en la forma n = 100·r + s:

podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:

para 11 → r + s ; para 101 → r - s

Escribiendo un número natural en la forma n = 1000·r + s:

podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:

para 37 → r + s ; para 13 → r - s ; para 7 → r - s

Puedes ver en el siguiente enlace numerosos ejemplos de aplicación de los criterios de divisibilidad


BIBLIOGRAFIA

1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.

2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L.

3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté

4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez. Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.
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tema escrito por: José Antonio Hervás