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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
CINEMÁTICA - MECÁNICA

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

 

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILINDRICO - PARABÓLICAS

Este tema es continuación del titulado:

ESTUDIO DE LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS PARABÓLICAS

El vector de posición de una partícula que se mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:

coordenadas cilíndricas parabólicas

La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente por la primera y segunda derivada de dicha función con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones de la velocidad y aceleración son, respectivamente :



En el caso de las coordenadas cilíndricas y esféricas el cálculo de la velocidad y aceleración es mas complicado que en coordenadas cartesianas puesto que los vectores unitarios no son invariantes respecto al tiempo. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas ocurre igual. En coordenadas cilíndricas parabólicas el vector de posición viene expresado por:

coordenadas cilíndrico parabólicas

Para expresar la velocidad y aceleración de una partícula móvil vamos a calcular antes la derivada primera respecto al tiempo (t) de los vectores unitarios . Para el primero de ellos se tiene:



Para obtener esta derivada vamos a considerar un cambio de variable haciendo coordenadas cilíndricas parabólicas= F. De ese modo:



y haciendo operaciones:



coordenadas cilíndricas parabólicas


coordenadas cilíndrico parabólicas

Para el vector , tendremos:



y mediante un desarrollo análogo:

coordenadas cilíndricas parabólicas

La velocidad del móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas será entonces:






y desarrollando cada uno de los términos que están afectados por el operador d/dt,

coordenadas cilíndricas parabólicas






Por simetría, obtenemos de igual forma:

coordenadas cilíndrico parabólicas

Con lo que podemos poner, sustituyendo por sus valores ya calculados:




coordenadas cilíndricas parabólicas

y agrupando términos, resulta finalmente:



Conocida la velocidad, es fácil expresar la energía cinética de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas:



y desarrollando el producto coordenadas cilíndricas parabólicassegún la ecuación anterior, tenemos para la energía cinética:

energía cinética

Para calcular la aceleración en coordenadas cilíndricas parabólicas, debemos derivar respecto a t la expresión que nos da la velocidad en dicho sistema, es decir:

aceleración en coordenadas cilidrico-parabólicas

para lo cual tenemos:

coordenadas cilíndrico parabólicas

y análogamente:



con lo que podemos poner:




coordenadas cilíndricas parabólicas

y agrupando términos:



esta expresión podemos ponerla en forma mas sencilla haciendo algunas trasformaciones que sólo reflejaremos en el primer sumando y que son:

coordenadas cilíndricas parabólicas




Así pues, finalmente, la aceleración de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas se
puede expresar:

coordenadas cilíndrico parabólicas

 

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    żTe han sido de utilidad estos apuntes sobre coordenadas curvilíneas?.- ˇMuchas gracias si lo recomiendas!


tema escrito por: José Antonio Hervás