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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
CINEMÁTICA - MECÁNICA

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

 

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILINDRICO - PARABÓLICAS

Este tema es continuación del titulado:

ESTUDIO DE LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS PARABÓLICAS

El vector de posición de una partícula que se mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:

    \(\vec{r} = x·\hat{i} + y·\hat{j} + z·\hat{k} \)
La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente por la primera y segunda derivada de dicha función con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones de la velocidad y aceleración son, respectivamente :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\vec{r}}{dt}= \dot{\vec{r}}(t) =\vec{v} = \dot{x}(t)· \hat{i} + \dot{y}(t)·\hat{j} + \dot{z}(t)·\hat{k}\\
    \\
    \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}= \ddot{\vec{r}}(t) =\vec{a} = \ddot{x}(t)· \hat{i} + \ddot{y}(t)·\hat{j} + \ddot{z}(t)·\hat{k}
    \end{array}\)
En el caso de las coordenadas cilíndricas y esféricas el cálculo de la velocidad y aceleración es mas complicado que en coordenadas cartesianas puesto que los vectores unitarios no son invariantes respecto al tiempo. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas ocurre igual. En coordenadas cilíndricas parabólicas el vector de posición viene expresado por:
    \(\displaystyle\vec{r}= \frac{u\sqrt{u^2 + v^2}}{2}·\hat{e}_u + \frac{v\sqrt{u^2 + v^2}}{2}·\hat{e}_v +z·\hat{e}_z \)
Para expresar la velocidad y aceleración de una partícula móvil vamos a calcular antes la derivada primera respecto al tiempo (t) de los vectores unitarios \(\hat{e}_u , \hat{e}_v \; y\;\hat{e}_z \) . Para el primero de ellos se tiene:
    \(\displaystyle \dot{\hat{e}}_u = \frac{d}{dt}\left(\frac{u·\hat{i} + v·\hat{j}}{\sqrt{u^2 + v^2}}\right)\)
Para obtener esta derivada vamos a considerar un cambio de variable haciendo \( \hat{e}_u = F \) . De ese modo:
    \(\displaystyle \dot{\hat{e}}_u =\frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial t}\)
y haciendo operaciones:
    \(\displaystyle \dot{\hat{e}}_u =\frac{\hat{i}(u^2 + v^2)^{1/2}- (u^2 + v^2)^{-1/2} u(u\hat{i}+ v\hat{j})}{(u^2 + v^2)}\dot{u} + \)
    \(\displaystyle + \frac{\hat{i}(u^2 + v^2)^{1/2}- (u^2 + v^2)^{-1/2} v(u\hat{i}+ v\hat{j})}{(u^2 + v^2)}\dot{v} = \)
    \(\displaystyle \frac{v^2\dot{u}\hat{i}- vu\dot{u}\hat{j}+ u^2\dot{v}\hat{j}- uv\dot{v}\hat{i}}{(u^2 + v^2)^{3/2}} =\frac{u\dot{v}(u\hat{j}-v\hat{i})-v\dot{u}(u\hat{j}-v\hat{i})}{(u^2 + v^2)^{3/2}} \)
    \(\displaystyle= \left(\frac{u\dot{v}- v\dot{u}}{(u^2 + v^2)^{3/2}}\right)\left(\frac{(-v\hat{i}+u\hat{j})}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\right)= \left(\frac{u\dot{v}- v\dot{u}}{(u^2 + v^2)}\right)\hat{e}_v \)
Para el vector \( \hat{e}_v \) , tendremos:
    \(\displaystyle \dot{\hat{e}}_v = \frac{d}{dt}\left(\frac{u·\hat{i} - v·\hat{j}}{\sqrt{u^2 + v^2}}\right)\)
y mediante un desarrollo análogo:
    \(\displaystyle \dot{\hat{e}}_v = \left(\frac{v\dot{u}- u\dot{v}}{(u^2 + v^2)}\right)\hat{e}_u \)
La velocidad del móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas será entonces:
    \(\displaystyle \vec{v}=\dot{ \vec{r}}= \frac{d}{dt}\left(\frac{u\sqrt{u^2 + v^2}}{2}\hat{e}_u + \frac{v\sqrt{u^2 + v^2}}{2}\hat{e}_v + z\hat{e}_z\right) = \)

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left[\frac{d}{dt}\left( \frac{u\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right)\right]\hat{e}_u + \left( \frac{u\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right)\dot{\hat{e}}_u + \cdots \\ \\ \left[\frac{d}{dt}\left( \frac{v\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right)\right]\hat{e}_v + \left( \frac{v\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right)\dot{\hat{e}}_v + \dot{z}\hat{e}_z \end{array} \)
y desarrollando cada uno de los términos que están afectados por el operador d/dt,
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d}{dt}\left( \frac{u\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right) = \frac{(u^2 + v^2)^{1/2}- (u^2 + v^2)^{-1/2}u^2}{2}\dot{u} + \\ \\
    + \frac{(u^2 + v^2)^{-1/2}u·v}{2}\dot{v} =\frac{(u^2 + v^2)\dot{u}+ u^2\dot{u} +uv\dot{v} }{2(u^2 + v^2)^{1/2}} = \\ \\
    =\frac{2u^2\dot{u}+ v^2\dot{u} +uv\dot{v} }{2(u^2 + v^2)^{1/2}}= \frac{2u^2\dot{u}+ 2v^2\dot{u} +uv\dot{v}- v^2\dot{u} }{2(u^2 + v^2)^{1/2}} = \\ \\ \frac{2\dot{u}(u^2 + v^2)- v(v\dot{u} - u\dot{v})}{2(u^2 + v^2)^{1/2}} \end{array}\)
Por simetría, obtenemos de igual forma:
    \(\displaystyle \frac{d}{dt}\left( \frac{v\sqrt{u^2 + v^2}}{2} \right) = \frac{2\dot{v}(u^2 + v^2)- u(v\dot{u} - u\dot{v})}{2(u^2 + v^2)^{1/2}} \)
Con lo que podemos poner, sustituyendo \( \dot{\hat{e}}_u \; y \;\dot{\hat{e}}_v \) por sus valores ya calculados:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}=\dot{ \vec{r}}= \frac{2\dot{u}(u^2 + v^2)- v(v\dot{u} - u\dot{v})}{2(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_u +\\ \\ \qquad\qquad\qquad \frac{u(u^2 + v^2)^{1/2}}{2}\left(\frac{v\dot{u}- u\dot{v}}{u^2 + v^2}\right)\hat{e}_v + \\ \frac{2\dot{v}(u^2 + v^2)- u(v\dot{u} - u\dot{v})}{2(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_v +\\ \\ \qquad\qquad\qquad \frac{v(u^2 + v^2)^{1/2}}{2}\left(\frac{v\dot{u}- u\dot{v}}{u^2 + v^2}\right)\hat{e}_u + \dot{z}\hat{e}_z \end{array} \)
y agrupando términos, resulta finalmente:
    \(\vec{v} = \dot{\vec{r}} = \dot{u}(u^2 + v^2)^{1/2}\hat{e}_u + \dot{v}(u^2 + v^2)^{1/2}\hat{e}_v + \dot{z}\hat{e}_z \)
Conocida la velocidad, es fácil expresar la energía cinética de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas:
    \(\displaystyle E_c = \frac{1}{2}m(\vec{v}\vec{v}) \)
y desarrollando el producto \((\vec{v}\vec{v})\) según la ecuación anterior, tenemos para la energía cinética:
    \(\displaystyle E_c = \frac{1}{2}m(\vec{v}\vec{v})= \frac{1}{2}m\left[(u^2 + v^2)(\dot{u}^2 + \dot{v}^2) + \dot{z}^2\right] \)
Para calcular la aceleración en coordenadas cilíndricas parabólicas, debemos derivar respecto a t la expresión que nos da la velocidad en dicho sistema, es decir:
    \(\vec{a} = \ddot{\vec{r}} =\frac{d}{dt} \left[\dot{u}(u^2 + v^2)^{1/2}\hat{e}_u + \dot{v}(u^2 + v^2)^{1/2}\hat{e}_v + \dot{z}\hat{e}_z \right]\)
para lo cual tenemos:
    \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left[\dot{u}(u^2 + v^2)^{1/2}\right] = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ u\dot{u}^2 + v\dot{v}\dot{u}}{(u^2 + v^2)^{1/2}} \)
y análogamente:
    \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left[\dot{v}(u^2 + v^2)^{1/2}\right] = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{v}+ v\dot{v}^2 + u\dot{u}\dot{v}}{(u^2 + v^2)^{1/2}} \)
con lo que podemos poner:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a} = \ddot{\vec{r}} = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ u\dot{u}^2 + v\dot{v}\dot{u}}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_u + \frac{\dot{u}(u\dot{v}- v\dot{u})}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_v + \\ \\ + \frac{(u^2 + v^2)\ddot{v}+ v\dot{v}^2 + u\dot{u}\dot{v}}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_v + \frac{\dot{v}(v\dot{u}- u\dot{v})}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_u +\ddot{z}\hat{e}_z \end{array} \)
y agrupando términos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a} = \ddot{\vec{r}} = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ u\dot{u}^2 + 2v\dot{v}\dot{u} - u\dot{v}^2}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_u + \\ \\ \qquad \qquad \qquad + \frac{(u^2 + v^2)\ddot{v}+ v\dot{v}^2 + 2u\dot{u}\dot{v}- v\dot{u}^2 }{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_v + \ddot{z}\hat{e}_z \end{array} \)
esta expresión podemos ponerla en forma mas sencilla haciendo algunas trasformaciones que sólo reflejaremos en el primer sumando y que son:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ u\dot{u}^2 + 2v\dot{v}\dot{u} - u\dot{v}^2}{(u^2 + v^2)^{1/2}} = \\
    \\
    \qquad \qquad = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ 2u\dot{u}^2 + 2v\dot{v}\dot{u} - u\dot{u}^2 - u\dot{v}^2}{(u^2 + v^2)^{1/2}}= \\
    \\ \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ 2(u\dot{u} + v\dot{v})\dot{u} - (\dot{u}^2 - \dot{v}^2)u}{(u^2 + v^2)^{1/2}}
    \end{array} \)
Así pues, finalmente, la aceleración de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede expresar:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a} = \ddot{\vec{r}} = \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ 2(u\dot{u} + v\dot{v})\dot{u} - (\dot{u}^2 - \dot{v}^2)u}{(u^2 + v^2)^{1/2}}\hat{e}_u + \\ \\ \qquad \qquad \qquad + \frac{(u^2 + v^2)\ddot{u}+ 2(u\dot{u} + v\dot{v})\dot{v} - (\dot{u}^2 - \dot{v}^2)v}{(u^2
    + v^2)^{1/2}}\hat{e}_v + \ddot{z}\hat{e}_z \end{array} \)
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