VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILINDRICO
- PARABÓLICAS
Este tema es continuación del titulado:
ESTUDIO DE LAS COORDENADAS
CILÍNDRICAS PARABÓLICAS
El vector de posición de una partícula que se
mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:
La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente
por la primera y segunda derivada de dicha función
con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en
coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios
son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones
de la velocidad y aceleración son, respectivamente
:
En el caso de las coordenadas cilíndricas y esféricas
el cálculo de la velocidad y aceleración es
mas complicado que en coordenadas cartesianas puesto que los
vectores unitarios no son invariantes respecto al tiempo.
Para las coordenadas cilíndricas parabólicas
ocurre igual. En coordenadas cilíndricas parabólicas
el vector de posición viene expresado por:
Para expresar la velocidad y aceleración de una partícula
móvil vamos a calcular antes la derivada primera respecto
al tiempo (t) de los vectores unitarios 
.
Para el primero de ellos se tiene:
Para obtener esta derivada vamos a considerar un cambio de
variable haciendo 
=
F. De ese modo:
y haciendo operaciones:
Para el vector 
,
tendremos:
y mediante un desarrollo análogo:
La velocidad del móvil en coordenadas cilíndricas
parabólicas será entonces:
y desarrollando cada uno de los términos que están
afectados por el operador d/dt,
Por simetría, obtenemos de igual forma:
Con lo que podemos poner, sustituyendo 
por
sus valores ya calculados:
y agrupando términos, resulta finalmente:
Conocida la velocidad, es fácil expresar la energía
cinética de un móvil en coordenadas cilíndricas
parabólicas:
y desarrollando el producto 
según
la ecuación anterior, tenemos para la energía
cinética:
Para calcular la aceleración en coordenadas cilíndricas
parabólicas, debemos derivar respecto a t la expresión
que nos da la velocidad en dicho sistema, es decir:
para lo cual tenemos:
y análogamente:
con lo que podemos poner:
y agrupando términos:
esta expresión podemos ponerla en forma mas sencilla
haciendo algunas trasformaciones que sólo reflejaremos
en el primer sumando y que son:
Así pues, finalmente, la aceleración de un móvil
en coordenadas cilíndricas parabólicas se
puede expresar:
