ESTUDIO DE LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS PARABÓLICAS Y EXPRESIÓN DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN DICHO SISTEMA


Las coordenadas cilíndricas parabólicas están caracterizadas por los parámetros (u,v,z) que cumplen, respecto a las coordenadas cartesianas, las siguientes relaciones:



Supongamos un punto P cuyas coordenadas en un sistema cilíndrico parabólico son (u,v,z),
según se expresa en el esquema adjunto.

Si mantenemos v y z constantes, el lugar geométrico de los puntos P que interceptan sobre dichas coordenadas es la parábola A. De igual forma, si mantenemos constantes los valores de u y z, se obtiene la parábola B. Por último, si u y v no varían, el lugar geométrico de los puntos P que cumplen dicha condición es la recta QP. Las superficies coordenadas "u" y "v" son cilindros parabólicos y las superficies coordenadas "z" son planos horizontales.

Los vectores unitarios que definen dichas coordenadas son y vienen dados por:



Para calcular la expresión de estos vectores, consideramos el vector de posición del punto P en coordenadas cartesianas :



y, por lo dicho al principio:



Derivando esta expresión respecto a "u", obtenemos:



de donde podemos poner:



De igual forma, derivando respecto a "v" obtenemos:



Con lo que resulta:



Por último, derivando respecto a z nos queda .

Conocidas las expresiones que transforman los vectores unitarios, vamos a obtener la expresión general que transforma cualquier vector del espacio:



Y sustituyendo los valores de :



con lo que podemos poner:



O expresado matricialmente:



Si deseamos realizar el paso inverso, es decir pasar de coordenadas cartesianas a cilíndricas parabólicas, desarrollamos la ecuación:



El vector de posición de una partícula que se mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:



La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente por la primera y segunda derivada de dicha función con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones de la velocidad y aceleración son, respectivamente :



En el caso de las coordenadas cilíndricas y esféricas el cálculo de la velocidad y aceleración es mas complicado que en coordenadas cartesianas puesto que los vectores unitarios no son invariantes respecto al tiempo. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas ocurre igual. En coordenadas cilíndricas parabólicas el vector de posición viene expresado por:



Para expresar la velocidad y aceleración de una partícula móvil vamos a calcular antes la derivada primera respecto al tiempo (t) de los vectores unitarios . Para el primero de ellos se tiene:



Para obtener esta derivada vamos a considerar un cambio de variable haciendo = F. De ese modo:



y haciendo operaciones:

Para el vector , tendremos:



y mediante un desarrollo análogo:



La velocidad del móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas será entonces:






y desarrollando cada uno de los términos que están afectados por el operador d/dt,









Por simetría, obtenemos de igual forma:



Con lo que podemos poner, sustituyendo por sus valores ya calculados:






y agrupando términos, resulta finalmente:



Conocida la velocidad, es fácil expresar la energía cinética de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas:



y desarrollando el producto según la ecuación anterior, tenemos para la energía cinética:



Para calcular la aceleración en coordenadas cilíndricas parabólicas, debemos derivar respecto a t la expresión que nos da la velocidad en dicho sistema, es decir:



para lo cual tenemos:



y análogamente:



con lo que podemos poner:






y agrupando términos:






esta expresión podemos ponerla en forma mas sencilla haciendo algunas trasformaciones que sólo reflejaremos en el primer sumando y que son:








Así pues, finalmente, la aceleración de un móvil en coordenadas cilíndricas parabólicas se
puede expresar: