ESTUDIO
DE LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS PARABÓLICAS
Las coordenadas cilíndricas parabólicas están
caracterizadas por los parámetros (u,v,z) que cumplen,
respecto a las coordenadas cartesianas, las siguientes relaciones:
Supongamos un punto P cuyas coordenadas en un sistema cilíndrico
parabólico son (u,v,z),
según se expresa en el esquema adjunto.
Si
mantenemos v y z constantes, el lugar geométrico
de los puntos P que interceptan sobre dichas coordenadas
es la parábola A. De igual forma, si mantenemos
constantes los valores de u y z, se obtiene la parábola
B. Por último, si u y v no varían, el
lugar geométrico de los puntos P que cumplen
dicha condición es la recta QP.
Las superficies coordenadas "u" y "v"
son cilindros parabólicos y las superficies
coordenadas "z" son planos horizontales. |
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Los vectores unitarios que definen dichas coordenadas son
y vienen dados por:
Para calcular la expresión de estos vectores, consideramos
el vector de posición del punto P en coordenadas cartesianas
:
y, por lo dicho al principio:
Derivando esta expresión respecto a "u",
obtenemos:
de donde podemos poner:
De igual forma, derivando respecto a "v" obtenemos:
Con lo que resulta:
Por último, derivando respecto a z nos queda  .
Conocidas las expresiones que transforman los vectores unitarios,
vamos a obtener la expresión general que transforma
cualquier vector  del
espacio:
Y sustituyendo los valores de :
con lo que podemos poner:
O expresado matricialmente:
Si deseamos realizar el paso inverso, es decir pasar de coordenadas
cartesianas a cilíndricas parabólicas, desarrollamos
la ecuación:
El vector de posición de una partícula que se
mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:
La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente
por la primera y segunda derivada de dicha función
con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en
coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios
son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones
de la velocidad y aceleración son, respectivamente
:
VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
EN COORDENADAS CILÍNDRICO - PARABÓLICAS
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