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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA DIFERENCIAL

COORDENADAS CILÍNDRICO-PARABÓLICAS

 

ESTUDIO DE LAS COORDENADAS CILÍNDRICO PARABÓLICAS

Las coordenadas cilíndricas parabólicas están caracterizadas por los parámetros (u,v,z) que cumplen, respecto a las coordenadas cartesianas, las siguientes relaciones:

    \(\begin{array}{l} x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)\;; \; y = uv \;; \; z = z \\ \\ con \; - \infty < u < +\infty \;; \; v \geq 0 \;; \; - \infty < z < +\infty \end{array} \)
Supongamos un punto P cuyas coordenadas en un sistema cilíndrico parabólico son (u,v,z),
según se expresa en el esquema adjunto.
Si mantenemos v y z constantes, el lugar geométrico de los puntos P que interceptan sobre dichas coordenadas es la parábola A. De igual forma, si mantenemos constantes los valores de u y z, se obtiene la parábola B. Por último, si u y v no varían, el lugar geométrico de los puntos P que cumplen dicha condición es la recta QP.
Las superficies coordenadas "u" y "v" son cilindros parabólicos y las superficies coordenadas "z" son planos horizontales.

Los vectores unitarios que definen dichas coordenadas son \(\hat{e}_u , \hat{e}_v \; y\;\hat{e}_z \) y vienen dados por:
    \(\displaystyle \hat{e}_u = \frac{\partial r/\partial u}{|\partial r/\partial u|} \;; \; \hat{e}_v = \frac{\partial r/\partial v}{|\partial r/\partial v|} \;; \; \hat{e}_z = \frac{\partial r/\partial z}{|\partial r/\partial z|} \)
Para calcular la expresión de estos vectores, consideramos el vector de posición del punto P en coordenadas cartesianas :
    \(\vec{r} = x·\hat{i} + y·\hat{j} + z·\hat{k} \)
y, por lo dicho al principio:
    \(\displaystyle \vec{r} = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)\hat{i} + (uv)\hat{j} + z\hat{k} \)
Derivando esta expresión respecto a "u", obtenemos:
    \(\displaystyle \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = u\hat{i} + v\hat{j} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\right| = \sqrt{u^2 + v^2} \)
de donde podemos poner:
    \(\displaystyle \hat{e}_u = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(u\hat{i} + v\hat{j}\right) \)
De igual forma, derivando respecto a "v" obtenemos:
    \(\displaystyle \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = - v\hat{i} + u\hat{j} \Rightarrow \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right| = \sqrt{u^2 + v^2} \)
Con lo que resulta:
    \(\displaystyle \hat{e}_v = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(-v\hat{i} + u\hat{j}\right) \)
Por último, derivando respecto a z nos queda \(\hat{e}_z = \hat{k}\) .

Conocidas las expresiones que transforman los vectores unitarios, vamos a obtener la expresión general que transforma cualquier vector \(\vec{E} \) del espacio:
    \(\displaystyle \vec{E} = E_u\hat{e}_u + E_v\hat{e}_v + E_z\hat{e}_z = E_x\hat{i} + E_y\hat{j} + E_z\hat{k} \)
Y sustituyendo los valores de \(\hat{e}_u , \hat{e}_v \; y\;\hat{e}_z \):
    \(\displaystyle \vec{E}= \frac{E_u}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(u\hat{i} + v\hat{j}\right)+ \frac{E_v}{\sqrt{u^2 + v^2}}\left(-v\hat{i} + u\hat{j}\right)+ E_z\hat{k} \)
con lo que podemos poner:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} E_x = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_u - \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_v \\ \\ E_y = \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_u + \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}}E_v \\ \\ E_z = E_z \end{array} \)
O expresado matricialmente:
    \(\displaystyle \left( \begin{array}{c} E_x \\\\ E_y \\\\ E_z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} E_u \\\\ E_v \\\\ E_z \\ \end{array} \right) \)
Si deseamos realizar el paso inverso, es decir pasar de coordenadas cartesianas a cilíndricas parabólicas, desarrollamos la ecuación:
    \(\displaystyle \left( \begin{array}{c} E_u \\\\ E_v \\\\ E_z \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} E_x \\\\ E_y \\\\ E_z \\ \end{array} \right) \)
El vector de posición de una partícula que se mueve viene expresado en coordenadas cartesianas en la forma:
    \(\vec{r}= \vec{r}(t) = x(t) \hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k} \)
La velocidad y aceleración, que se definen respectivamente por la primera y segunda derivada de dicha función con respecto al tiempo, son fáciles de calcular en coordenadas cartesianas, puesto que los vectores unitarios \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) son invariantes. De ahí se tiene que las expresiones de la velocidad y aceleración son, respectivamente :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\vec{r}}{dt}= \dot{\vec{r}}(t) =\vec{v} = \dot{x}(t)· \hat{i} + \dot{y}(t)·\hat{j} + \dot{z}(t)·\hat{k}\\
    \\
    \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}= \ddot{\vec{r}}(t) =\vec{a} = \ddot{x}(t)· \hat{i} + \ddot{y}(t)·\hat{j} + \ddot{z}(t)·\hat{k}
    \end{array}\)
VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN EN COORDENADAS CILÍNDRICO - PARABÓLICAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás