La teoría sobre
circulantes escalares se encuentra ampliamente desarrollada y
está demostrado [1] y [2] que una matriz de la forma (1)
:
tiene todos sus valores propios dados por :
donde se cumple rn = 1.
Nosotros vamos a desarrollar la teoría ya conocida para
aplicarla al caso de circulantes que llamaremos matriciales.
En primer lugar, tenemos las siguientes definiciones :
Definición 1.- Llamaremos
circulante básico de dimensión n a la matriz n-dimensional
de la forma :
Definición 2.-
Llamaremos circulante escalar a cualquier matriz de la forma (1)
donde los ci son escalares cualesquiera.
Las dos definiciones anteriores nos permiten enunciar el siguiente
teorema
TEOREMA 1
Todo circulante escalar de dimensión n puede escribirse
como polinomio escalar del circulante básico de dimensión
n.
Demostración
Se obtiene sin mas que considerar la descomposición
Donde C es un circulante escalar y A es el circulante básico
de dimensión n.
Así pues, todo circulante escalar puede escribirse en la
forma : C = P(A)
y tiene los mismos vectores propios que A, con los valores propios
Generalizando el concepto de circulante introducimos ahora la
siguiente definición :
Definición 3.-
Llamamos circulante matricial de dimensión m (con m = n.s)
a toda matriz de la forma :
donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s.
De modo análogo al caso escalar, podemos enunciar el siguiente
teorema :
TEOREMA 2
Todo circulante matricial de dimensión m puede escribirse
en la forma :
donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s, y A
es el circulante básico de dimensión n.
Demostración
La matriz M será una matriz sigma, con :
Aplicando el teorema 6, transformamos M en una matriz de la forma:
Cada una de las matrices\(C_{\sigma_{ij}}(l)\) es un circulante
escalar de dimensión n, por lo que, según [3] tendremos
:
Siendo A el circulante básico de dimensión n.
En este punto, solo tenemos que considerar el corolario 1 del
teorema 8 para llegar al resultado que queríamos demostrar.
Ejemplo 1.-
Podemos considerar la matriz :
cuyos valores propios se obtienen haciendo :
donde λ
1 , λ
2 y λ
3
son los valores propios del circulante básico de dimensión
3, y :
Un tipo de matrices relacionadas con los circulantes son aquellas
cuyos elementos tienen la forma :
ya que para cualquier matriz de este tipo se cumple que su cuadrado
es un circulante. Estas matrices son de la forma :
donde los Mij pueden ser escalares o matrices cuadradas, y las
llamaremos anticirculantes, por motivos evidentes.
Según hemos dicho, se tiene :
donde el subíndice i+(n-k) es un entero módulo n.
Corolario.-
Si M es una matriz n-dimensional que puede subdividirse en m submatrices
r-triangulares superiores (resp. inferiores) de la misma dimensión,
entonces posee dos factores propios de la forma :
donde los Xij son los factores propios superiores (en posición)
de las submatrices de la partición, y los Yij son los factores
propios inferiores (en posición)
Demostración.-
Toda matriz r-triangular superior y su traspuesta (que es r-triangular
inferior) tienen como matrices propias respectivas :
donde I y 0 son la matriz unidad y nula de dimensión
r. Por lo tanto, podemos aplicar los resultados del teorema
3 de [3] y obtener lo dicho.
Ejemplo 2.-
La matriz :
donde cada letra denota una matriz cuadrada de dimensión
n, tiene como matrices propias de dimensión 2n x 2n
BIBLIOGRAFIA
[1] R. Bellman, Introducción al análisis matricial,
pgs 250 y sgts. Ed Reverté
[2] Horn, Roger A., Matrix analysis, pg 26. Ed Cambridge University
Press .
[3] Matrices sigma-reducibles. J. A. Hervás