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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA MATRICIAL

CIRCULANTES MATRICIALES

 

GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE CIRCULANTE - CIRCULANTES MATRICIALES

La teoría sobre circulantes escalares se encuentra ampliamente desarrollada y está demostrado [1] y [2] que una matriz de la forma (1) :

ecuación de la teoría matricial

tiene todos sus valores propios dados por :

ecuación de la teoría matricial

donde se cumple rn = 1.

Nosotros vamos a desarrollar la teoría ya conocida para aplicarla al caso de circulantes que llamaremos matriciales.

En primer lugar, tenemos las siguientes definiciones :

Definición 1
.- Llamaremos circulante básico de dimensión n a la matriz n-dimensional de la forma :

circulante básico

Definición 2.- Llamaremos circulante escalar a cualquier matriz de la forma (1) donde los ci son escalares cualesquiera.

Las dos definiciones anteriores nos permiten enunciar el siguiente teorema

TEOREMA 1

Todo circulante escalar de dimensión n puede escribirse como polinomio escalar del circulante básico de dimensión n.

Demostración

Se obtiene sin mas que considerar la descomposición
ecuación de la teoría matricial
Donde C es un circulante escalar y A es el circulante básico de dimensión n.

Así pues, todo circulante escalar puede escribirse en la forma : C = P(A)

y tiene los mismos vectores propios que A, con los valores propios

ecuación de la teoría matricial

Generalizando el concepto de circulante introducimos ahora la siguiente definición :

Definición 3.- Llamamos circulante matricial de dimensión m (con m = n.s) a toda matriz de la forma :

circulante matricial

donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s.

De modo análogo al caso escalar, podemos enunciar el siguiente teorema :

TEOREMA 2

Todo circulante matricial de dimensión m puede escribirse en la forma :

circulante matricial

donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s, y A es el circulante básico de dimensión n.

Demostración

La matriz M será una matriz sigma, con :

cálculo matricial

Aplicando el teorema 6, transformamos M en una matriz de la forma:

cálculo matricial

Cada una de las matrices\(C_{\sigma_{ij}}(l)\) es un circulante escalar de dimensión n, por lo que, según [3] tendremos :

cálculo matricial

Siendo A el circulante básico de dimensión n.

En este punto, solo tenemos que considerar el corolario 1 del teorema 8 para llegar al resultado que queríamos demostrar.

Ejemplo 1.- Podemos considerar la matriz :

fórmula para el cálculo matricial

cuyos valores propios se obtienen haciendo :


fórmula para el cálculo matricial

fórmula para el cálculo matricial

fórmula para el cálculo matricial

donde λ1 , λ2 y λ3 son los valores propios del circulante básico de dimensión 3, y :

ecuación para el cálculo matricial

Un tipo de matrices relacionadas con los circulantes son aquellas cuyos elementos tienen la forma :

ecuación para el cálculo matricial

ya que para cualquier matriz de este tipo se cumple que su cuadrado es un circulante. Estas matrices son de la forma :

ecuación para el cálculo matricial

donde los Mij pueden ser escalares o matrices cuadradas, y las llamaremos anticirculantes, por motivos evidentes.

Según hemos dicho, se tiene :

ecuación para el cálculo matricial

donde el subíndice i+(n-k) es un entero módulo n.

Corolario.- Si M es una matriz n-dimensional que puede subdividirse en m submatrices r-triangulares superiores (resp. inferiores) de la misma dimensión, entonces posee dos factores propios de la forma :

ecuación matricial

donde los Xij son los factores propios superiores (en posición) de las submatrices de la partición, y los Yij son los factores propios inferiores (en posición)

Demostración.- Toda matriz r-triangular superior y su traspuesta (que es r-triangular inferior) tienen como matrices propias respectivas :

ecuación matricial

donde I y 0 son la matriz unidad y nula de dimensión r. Por lo tanto, podemos aplicar los resultados del teorema 3 de [3] y obtener lo dicho.

Ejemplo 2.- La matriz :

ecuación matricial

donde cada letra denota una matriz cuadrada de dimensión n, tiene como matrices propias de dimensión 2n x 2n

ecuación matricial

BIBLIOGRAFIA

[1] R. Bellman, Introducción al análisis matricial, pgs 250 y sgts. Ed Reverté

[2] Horn, Roger A., Matrix analysis, pg 26. Ed Cambridge University Press .

[3] Matrices sigma-reducibles. J. A. Hervás

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tema escrito por: José Antonio Hervás