CIRCULANTES MATRICIALES

La teoría sobre circulantes escalares se encuentra ampliamente desarrollada y está demostrado [1] y [2] que una matriz de la forma (1) :

tiene todos sus valores propios dados por :

donde se cumple rⁿ = 1
Nosotros vamos a desarrollar la teoría ya conocida para aplicarla al caso de circulantes que llamaremos matriciales.

En primer lugar, tenemos las siguientes definiciones :

Definición 1.- Llamaremos circulante básico de dimensión n a la matriz n-dimensional de la forma :

Definición 2.- Llamaremos circulante escalar a cualquier matriz de la forma (1) donde los ci son escalares cualesquiera.
Las dos definiciones anteriores nos permiten enunciar el siguiente teorema

TEOREMA 1

Todo circulante escalar de dimensión n puede escribirse como polinomio escalar del circulante básico de dimensión n.

Demostración

Se obtiene sin mas que considerar la descomposición

Donde C es un circulante escalar y A es el circulante básico de dimensión n.

Así pues, todo circulante escalar puede escribirse en la forma : C = P(A)

y tiene los mismos vectores propios que A, con los valores propios

Generalizando el concepto de circulante introducimos ahora la siguiente definición :
Definición 3.- Llamamos circulante matricial de dimensión m (con m = n.s) a toda matriz de la forma :

donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s.
De modo análogo al caso escalar, podemos enunciar el siguiente teorema :

TEOREMA 2

Todo circulante matricial de dimensión m puede escribirse en la forma :

donde las Mi son matrices cuadradas de dimensión s, y A es el circulante básico de dimensión n.

Demostración

La matriz M será una matriz sigma, con :

Aplicando el teorema 6, transformamos M en una matriz de la forma:


Cada una de las matrices es un circulante escalar de dimensión n, por lo que, según [3] tendremos :


Siendo A el circulante básico de dimensión n.
En este punto, solo tenemos que considerar el corolario 1 del teorema 8 para llegar al resultado que queríamos demostrar.

Ejemplo 1.- Podemos considerar la matriz :


cuyos valores propios se obtienen haciendo :







donde son los valores propios del circulante básico de dimensión 3, y :



Un tipo de matrices relacionadas con los circulantes son aquellas cuyos elementos tienen la forma :

ya que para cualquier matriz de este tipo se cumple que su cuadrado es un circulante.
Estas matrices son de la forma :

donde los Mij pueden ser escalares o matrices cuadradas, y las llamaremos anticirculantes, por motivos evidentes.
Según hemos dicho, se tiene :


donde el subíndice i+(n-k) es un entero módulo n.

Corolario.- Si M es una matriz n-dimensional que puede subdividirse en m submatrices r-triangulares superiores (resp. inferiores) de la misma dimensión, entonces posee dos factores propios de la forma :

donde los Xij son los factores propios superiores (en posición) de las submatrices de la partición, y los Yij son los factores propios inferiores (en posición)

Demostración.- Toda matriz r-triangular superior y su traspuesta (que es r-triangular inferior) tienen como matrices propias respectivas :
donde I y 0 son la matriz unidad y nula de dimensión r. Por lo tanto, podemos aplicar los resultados del teorema 3 de [3] y obtener lo dicho.

Ejemplo 2.- La matriz :


donde cada letra denota una matriz cuadrada de dimensión n, tiene como matrices propias de dimensión 2n x 2n :



BIBLIOGRAFIA

[1] R. Bellman, Introducción al análisis matricial, pgs 250 y sgts. Ed Reverté

[2] Horn, Roger A., Matrix analysis, pg 26. Ed Cambridge University Press .

[3] Matrices sigma-reducibles. J. A. Hervás