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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE NÚMEROS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CICLOTÓMICOS

 

CARACTERIZACIÓN DE LOS FACTORES PRIMOS DE LOS POLINOMIOS CICLOTÓMICOS

RESUMEN

El resultado principal de este trabajo está relacionado con otros recogidos en varios artículos escritos para analizar la estructura de los factores primos de ciertas expresiones numéricas, entre ellos el titulado “Caracterización de los factores de la suma de dos números elevados a la misma potencia” [1] ya que como demostraremos, los polinomios ciclotómicos pueden dedcirse como factores de la suma de dos números enteros elevados a una misma potencia.

DESARROLLO

Resulta fácil imaginar que algunas de las cuestiones que pueden plantearse en el estudio de tales números están directamente relacionadas con el teorema de Fermat – Wiles, cuyo celebérrimo enunciado no vamos a transcribir aquí por razones obvias, aunque si recordamos que tiene que ver con números de la forma:

    an ± bn

Para los que sabemos que, cuando n es un número impar, podemos escribir:



Y cuando el exponente es un número primo, p, tenemos:



Según se demuestra en [1], todos los factores de la anterior expresión son de la forma dada en (1) salvo en los casos en los que (a ± b) sea múltiplo de p, para los que hay que tener en cuenta que hemos de añadir un factor p a la descomposición.

Definición

Por otro lado, de acuerdo con los textos académicos sobre teoría algebraica y teoría de números, se denomina polinomio ciclotómico de orden n y se denota como Fn al polinomio unitario cuyas raíces son todas las raíces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que verifican zn = 1.

El polinomio ciclotómico n-ésimo está definido, según eso, por el hecho de que sus ceros son precisamente las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, cada una con multiplicidad 1:



donde z1,...,zΦ(n) son las raíces primitivas n-ésimas de la unidad, y Φ(n) es la función de Euler.
El polinomio Fn(z) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre el cuerpo de los números racionales, lo que significa que no puede ser escrito como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales.

Podemos recordar que cada raíz n-ésima de la unidad es cualquiera de los n números complejos distintos que son raíces del polinomio:

    zn - 1
Y que dicha raíz n-ésima es una raíz primitiva d-ésima de la unidad para algún entero d tal que

    1 ≤ d ≤ n

Lo cual implica que:



Fórmula que representa la factorización del polinomio zn - 1 en factores irreducibles.



Los polinomios ciclotómicos pueden calcularse recursivamente a partir de la relación (2) y mediante la inversión de Möbius podemos obtener:



Donde μ es la función de Möbius definida por



Con lo que los primeros polinomios ciclotómicos son:



De la relación anterior puede verse que cuando el grado del polinomio ciclotómico es un número primo, tenemos que:



Y así mismo, resulta fácil ver que para todo n impar se verifica:



Veamos ahora cómo podemos obtener a partir de lo expuesto la factorización del polinomio zn + 1 . Sabemos que se cumple:



Y a partir de ahí:



Así, por ejemplo:



Para obtener la factorización de expresiones de la forma:

    an ± bn

A partir de lo visto, podemos hacer:



Para factorizar el término entre paréntesis como ya sabemos por los resultados anteriores.

EJEMPLO NUMERICO

Como ejemplo numérico vamos a obtener la descomposición en factores primos del número:

    1315 + 215

En primer lugar, vemos que 13 + 2 = 15 y, evidentemente dicho valor es múltiplo del exponente o, lo que es igual, de cada uno de los factores que lo componen; de ese modo, ya sabemos que en la descomposición factorial vamos a tener los factores 32 y 52.

Así:



Y de ese modo:



Con lo cual:



Y podemos comprobar, de acuerdo con los resultados teóricos, que los factores primos distintos de 3 y 5, deducibles de las partes exponenciales, son respectivamente de la forma:


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tema escrito por: José Antonio Hervás