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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 50

Demostraremos lo indicado en el enunciado comprobando que se cumplen las propiedades que definen a un grupo.

El conjunto es cerrado para el producto ordinario:
    \( \begin{array}{l} (\cos \varphi + i· \sin \varphi) · (\cos \varphi' + i· \sin \varphi') = \\  \\ = \cos \varphi· \cos \varphi' + i· \cos \varphi \sin \varphi' + \\  \\ + i· \sin \varphi· \cos \varphi' - \sin \varphi· \sin \varphi' = \\  \\ (\cos \varphi· \cos \varphi' - \sin \varphi· \sin \varphi') + \\  \\ + i (\cos \varphi \sin \varphi' + \sin \varphi· \cos \varphi') = \\  \\ = \cos (\varphi + \varphi' ) + i ·\sin (\varphi + \varphi' ) \end{array}\)
Se cumple la propiedad asociativa:
    \( (\cos \varphi + i· \sin \varphi) · [(\cos \varphi' + i· \sin \varphi')· (\cos \varphi' + i· \sin \varphi')] = \)

    \( (\cos \varphi + i· \sin \varphi) · [ \cos (\varphi' + \varphi" ) + i ·\sin (\varphi' + \varphi" )] = \)

    \( [ \cos (\varphi +\varphi' + \varphi" ) + i ·\sin (\varphi + \varphi' + \varphi" )] =\)

    \( [(\cos \varphi + i· \sin \varphi) · (\cos \varphi' + i· \sin \varphi')]· (\cos \varphi' + i· \sin \varphi')\)
Para el elemento unidad se tiene que cumplir:
    \(x · e = e · x = x \)
Con lo que tendremos:
    \((\cos \varphi + i· \sin \varphi) · (\cos \varphi' + i· \sin \varphi') = (\cos \varphi + i· \sin \varphi)\)
Y haciendo operaciones resulta:
    \( (\varphi + \varphi' ) = (\varphi \; \rightarrow \; \varphi' = 0\)
Por lo que el elemento unidad será de la forma:
    \(\cos 0 + i· \sin 0\)
Para el elemento inverso o simétrico de uno dado tenemos:
    \(x· x^{-1} = x^{-1}· x = e\)
O, lo que es igual:
    \((\cos \varphi + i· \sin \varphi) · (\cos \varphi' + i· \sin \varphi') = \cos 0 + i· \sin 0\)
Y operando:
    \(\begin{array}{l}
    \cos (\varphi + \varphi' ) + i ·\sin (\varphi + \varphi' )= \cos 0 + i· \sin 0 \; \rightarrow \; \\
     \\
    \rightarrow \varphi + \varphi' = 0 \; \rightarrow \; \varphi' = - \varphi'
    \end{array}\)
Para comprobar que estamos considerando un grupo abeliano lo tenemos relativamente cómodo, ya que podemos escribir
    \(\begin{array}{l} (\cos \varphi + i· \sin \varphi) · (\cos \varphi' + i· \sin \varphi') = \\ = \cos (\varphi + \varphi' ) + i ·\sin (\varphi + \varphi' ) = \\ = \cos (\varphi' + \varphi ) + i ·\sin (\varphi' + \varphi) = \\ = (\cos \varphi' + i· \sin \varphi') · (\cos \varphi + i· \sin \varphi) \end{array}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás