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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 49

En un grupo G, el orden de un elemento \( x \in G \) es el valor h tal que :
    \( x^h = e \)
Sea cual sea el número de elementos del grupo, el único elemento de orden 1 es, justamente, el elemento neutro.

Los elementos de orden 2 serán aquellos que cumplan:
    \( x \ast x = e \)
Es decir, que cada uno de ellos es su propio inverso. Como resulta que cada elemento tiene un sólo inverso, los elementos considerados no podrán ser inversos de otros elementos del grupo; por lo tanto, descontando de G el elemento neutro, nos queda un número impar de elementos.

En esas circunstancias resulta que no podrá haber un número par de elementos de orden 2, puesto que ello implicaría la existencia de un número impar de elementos de orden mayor que 2 y en ese caso, uno de ellos, necesariamente, quedaría sin inverso.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás