PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de teoría de grupos de permutaciones

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Problemas de teoría de grupos

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Sea G un grupo y consideremos en él dos elementos de orden 2. Demostrar que si su producto también es de orden 2, entonces ambos elementos conmutan.

RESPUESTA 48

Según lo dicho en el enunciado, tenemos:
    \( x \ast x = e \; \; ; \; \; y \ast y = e \; \; ; \; \; (x \ast y)^2 = e \)
O lo que es igual:
    \( (x \ast y) \ast (x \ast y) = e \)
Si operamos a la derecha con el elemento \(y\) resulta, por una parte:
    \( (x \ast y) \ast x \ast y \ast y = e \ast y = y \)
Y, por otra:
    \( (x \ast y) \ast (x \ast y) \ast y = (x \ast y) \ast x \ast y \ast y = (x \ast y) \ast x \)
Con lo cual, igualando:
    \( (x \ast y) \ast x = y \)
Operando ahora, también por la derecha, con el elemento \(x\):
    \( (x \ast y) \ast x \ast x = y \ast x \; \rightarrow \; x \ast y = y \ast x \)
Como queríamos demostrar.
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Página publicada por: José Antonio Hervás