EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sea G un grupo y consideremos en él dos elementos de orden 2. Demostrar que si su producto también es de orden 2, entonces ambos elementos conmutan.

RESPUESTA 48

Según lo dicho en el enunciado, tenemos:
    \( x \ast x = e \; \; ; \; \; y \ast y = e \; \; ; \; \; (x \ast y)^2 = e \)
O lo que es igual:
    \( (x \ast y) \ast (x \ast y) = e \)
Si operamos a la derecha con el elemento \(y\) resulta, por una parte:
    \( (x \ast y) \ast x \ast y \ast y = e \ast y = y \)
Y, por otra:
    \( (x \ast y) \ast (x \ast y) \ast y = (x \ast y) \ast x \ast y \ast y = (x \ast y) \ast x \)
Con lo cual, igualando:
    \( (x \ast y) \ast x = y \)
Operando ahora, también por la derecha, con el elemento \(x\):
    \( (x \ast y) \ast x \ast x = y \ast x \; \rightarrow \; x \ast y = y \ast x \)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás