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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 47

Consideremos un elemento de \( R - \{0\} \) distinto de 1. Tenemos:
    \( \displaystyle \frac{a}{b} \neq 1 \; \rightarrow \; a \neq b \)
Si el elemento dado tuviese orden finito podríamos escribir:
    \( \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^k = \left(\frac{a}{b}\right) · \left(\frac{a}{b}\right) \cdots \left(\frac{a}{b}\right) = \frac{a^k}{b^k} = 1 \; \rightarrow \; a^k = b^k \)
Extrayendo raices llegaríamos a obtener \( a = b \) lo cual está en contra de la hipótesis de partida en la que decimos que \( a \neq b \).

Para resolver la segunda parte del ejercicio, comenzamos por comprobar la propiedad asociativa. Sean los elementos \( x, y, z \) del conjunto de los racionales positivos denotados por:
    \( \displaystyle x = \frac{a}{b} \; ; \; y = \frac{c}{d} \; ; \; \frac{f}{g}\)
Operando según la ley de composición interna definida, tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{a}{b} \ast \frac{c}{d} \right) \ast \frac{f}{g} = \frac{a d }{bc} \ast \frac{f}{g} = \frac{a d g }{bcf} \\  \\ \frac{a}{b} \ast \left(\frac{c}{d} \ast \frac{f}{g} \right) = \frac{a}{b} \ast \frac{cg}{df} = \frac{adf}{bcg} \end{array}\)
Y puesto que los resultados obtenidos son distintos según operemos por la derecha o por la izquierda, podemos conluir que el conjunto dado no tiene estructrua de grupo para le operación definida.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás