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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 46

Para ver si los elementos del conjunto \( a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} \} \) verificamos las cuatro propiedades del grupo. El conjunto es cerrado respecto a la multiplicación:
    \(\begin{array}{l}
    (a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9}) · (h + m \sqrt[3]{3} + n \sqrt[3]{9}) = a · h + a· m \sqrt[3]{3} + \\
     \\
    a · n\sqrt[3]{9} + b· h \sqrt[3]{3} + b· m \sqrt[3]{9} + 3 b· n + c· h \sqrt[3]{9} + 3 c· m + \\
     \\
    3 c· n \sqrt[3]{3} = (a · h + 3 b· n + 3 c· m) + \\
     \\
    (a· m + b· h + 3 c· n )\sqrt[3]{3} + (a · n + b· m + c· h ) \sqrt[3]{9} \\
     \\ \end{array}\)
La composición de dos elementos del conjunto es también un elemento del conjunto, por lo tanto, este es cerrado.

Elemento neutro. Debe cumplirse:
    \((a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9}) (h + m \sqrt[3]{3} + n \sqrt[3]{9}) = (a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9}) \)
Y operando e igualando términos:
    \(\left. \begin{array}{l} a h + 3 b n + 3 cm = a \\ \\ a m + b h + 3 c n = b \\ \\ a n + b m + c h = c \end{array} \right\} \; \; \rightarrow \; h= 1 \; ; \; m = 0 \; ; \; n = 0 \)
E identificando términos:
    \( (a+x) = a \; \rightarrow \; x = 0 \; \; ; \; \; (b+y) = b \; \rightarrow \; y= 0\)
Y el elemento neutro será de la forma \( 1 + 0 \sqrt[3]{3} + 0 \sqrt[3]{9} \).

Para el elemento simétrico de uno dado tendremos:
    \((a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9}) (h + m \sqrt[3]{3} + n \sqrt[3]{9}) = (1 + 0\sqrt[3]{3} + 0 \sqrt[3]{9}) \)
Operando e igualando términos obtenemos:
    \( \begin{array}{l} a h + 3 b n + 3 cm = 1 \; \; ; \; \; a m + b h + 3 c n = 0 \\  \\ a n + b m + c h = 0 \end{array}\)
Con lo que resulta un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, h, m, n , que nos dan el elemento simétrico buscado.

Las leyes asociativa y conmutativa las complen todos los números reales, por lo que también la cumplirán los elementos de la forma dada. Por todo lo anterior, podemos decir que el conjunto dado tiene estructura de grupo abeliano.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás