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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 45

Para ver si los elementos del conjunto \( \{a + b\sqrt{2} \} \) forman un grupo aditivo hacemos como sigue. Conjunto cerrado:
    \((a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) = (a+c) + (b+d)\sqrt{2}\)
La suma de dos elementos del conjunto es también un elemento del conjunto, por lo tanto, este es cerrado.

Elemento neutro; debe cumplirse:
    \( (a + b\sqrt{2}) + (x + y\sqrt{2}) = (a + b\sqrt{2})\)
Por lo que tendremos:
    \( (a + b\sqrt{2}) + (x + y\sqrt{2}) = (a+x) + (b+y)\sqrt{2} = (a + b\sqrt{2}) \)
E identificando términos:
    \( (a+x) = a \; \rightarrow \; x = 0 \; \; ; \; \; (b+y) = b \; \rightarrow \; y= 0\)
Con lo que el elemento neutro será de la forma \( 0 + 0 \sqrt{2} \).

Elemento opuesto de uno dado:
    \( \begin{array}{l} (a + b\sqrt{2}) + (x + y\sqrt{2}) = 0+ 0\sqrt{2} \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; (a+x) + (b+y) \sqrt{2} = 0+ 0\sqrt{2} \end{array}\)
E identificando términos:
    \(a+x = 0 \; \rightarrow \; x = -a \; \; ; \; \; b+y = b \; \rightarrow \; y= -b\)
Con lo que el elemento opuesto de una dado, \(a+b\sqrt{2} \) , será de la forma , \(- a - b\sqrt{2} \).

Las leyes asociativa y conmutativa las complen todos los números reales, por lo que también la cumplirán los elementos de la forma dada; así pues, como el conjunto dado cumple las propiedades requeridas para ello, podemos decir que tiene estructura de grupo abeliano.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás