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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 44

Como se nos indica que el grupo es conmutativo podemos escribir:
    \(x c = c x \; \; ; \; \; x a = a x \)
Comprobar que el conjunto es cerrado resulta trivial observando la tabla. Para la propiedad conmutativa tenemos:
    \(\begin{array}{l} a b x^2 c = c x a \; \rightarrow \; a b x c x = \\  \\ = c a x \; \rightarrow \; a b x c = c a \end{array}\)
O lo que es igual:
    \(a b x c = a c \; \rightarrow \; a b x = a \; \rightarrow \; b x = e \; \rightarrow \; x = b^{-1}\)
Para demostrar la segunda parte del ejercicio, operamos a la derecha con \( (x^{-1}\, a \, x)^2 \), con lo cual:
    \(a ( x^{-1} ax)^3 = ( x^{-1} ax) a(x^{-1}\, a \, x)(x^{-1}\, a \, x) \)
Y haciendo uso de la propiedad indicada en el enunciado:
    \(\begin{array}{l} a e = a = x^{-1} ax ax^{-1} a (xx^{-1}) a x = \\  \\ = x^{-1}( ax a)x^{-1} a^2 x \end{array}\)
Pero por la misma propiedad indicada se tiene:
    \(x^3 = e \; \rightarrow \; x^{-1} = x^2 \; \; ; \; \; a^3 = e \; \rightarrow \; a^{-1} = a^2\)
Y, por lo tanto:
    \(a = x x( ax a)x x a a x = x (x a)^2 x^2 a^2 x = \)

    \(= x (x a)^{-1}x^2 a^2 x = x a^{-1} x^{-1} x x a^2 x = x a^{-1} x a^2 x\)
Con lo que, finalmente:
    \(\begin{array}{l} a = x a^{-1} x a^{-1} x = (x a^{-1} )^2 x = \\  \\ = (x a^{-1})^{-1} x = (a^{-1})^{-1} x^{-1} x = a \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás