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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 43

Reproducimos la tabla para analizarla con más comodidad:
    \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ \hline a & a & b & c & e \\ \hline b & b & c & e & a \\ \hline c & c & e & a & b \\ \hline
    \end{array} \)
Comprobar que el conjunto es cerrado resulta trivial observando la tabla. Para la propiedad conmutativa tenemos:
    \(a b = b a = c \; ; \; c b = b c = a \; ; \; a c = c a = e\)
Que la ley asociativa se puede verificar como sigue:
    \((e a)b = a b = c = ab = e(ab) \; \rightarrow \; (e a)b = e(ab)\)
El elemento unidad es claramente "e" como puede comprobarse viendo la tabla.

Cada elemento tiene su inverso:
    \( a c = ca = e = b b \)
Por todo lo visto podemos decir que tenemos un grupo conmutativo o abeliano de orden 4 por ser ese el número de elementos distintos que lo componen.

Para determinar los subrupos debemos tener en cuenta que el orden de estos ha de ser divisor del orden del grupo, es decir, 1, 2, 4, pero en aquellos casos en los que el orden del subgrupo es 1 o coincide con el del grupo, se denominan subgrupos impropios y no se consideran; de ese modo, los subgrupos propios a considerar tendrán orden 2.

Si \( x \) e \(y\) son elementos del subgrupo, entonces \( x y^{-1} \) deberá ser también elemento del grupo. Teniendo en cuenta lo anterior, el único subgrupo propio que podemos formar es el constituido por los elementos \( \{ e, b \} \). Además, al ser el grupo abeliano, todos sus subgrupos son normales o invariantes, ya que, si denotamos por G al grupo y por S al subgrupo, se cumple
    \( \forall x \in G \; \; xS = S x \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás