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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA ejemplo 41, teoría de grupos

Formamos la tabla:
    \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    & 1& -1 & x & -x & x^2 & - x^2 \\ \\ \hline 1 & 1 & -1 & x & -x & x^2 & - x^2 \\\\ \hline -1 & -1 & 1 & -x & x & -x^2 & x^2 \\\\ \hline x & x & -x& x^2 & -x^2 & 1 & - 1 \\\\ \hline -x & -x & x & -x^2 & x^2 & -1 & 1 \\\\ \hline x^2 & x^2 & -x^2 & 1 & -1 & x & -x \\\\ \hline -x^2 & -x^2 & x & -1 & 1 & -x & x \\\\ \hline
    \end{array}
    \)
El elemento neutro es el 1. El conjunto, con la operación dada cumple la propiedad conmutativa por ser la tabla simétrica respecto a la diagonal principal. Cada elemento tiene su simétrico
    \(1 \leftrightarrow 1 \, ; \; -1 \leftrightarrow -1 \, ; \; x \leftrightarrow x^2 \, ; \; -x \leftrightarrow -x^2 \, ; \; \)
Tenemos un grupo cíclico cuyo generador es \( -x \):
    \(\begin{array}{l} (-x)^1 = -x \; ; \; (-x)^2 = x^2 \; ; \; (-x)^3 = -1 \\  \\ (-x)^4 = x \; ; \; (-x)^5 = x^2 \; ; \; (-x)^6 = 1 \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás