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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 40

Supongamos que se tiene:
    \((a \ast b)^n = e \)
Se ha de cumplir:
    \((a \ast b)^n = (a \ast b) \ast \underbrace{n \; veces } \ast (a \ast b) a^n \ast b^n = e \)
Donde hemos aplicado la propiedad asociativa y conmutativa por ser como grupo finito, abeliano.
Para que \(a^n\) y \( b^n\) sean, respectivamente, igual a e, se ha de tener:
    \(a^n = (a^4)^x = a^{4x} \; \; ; \; \; b^n = (b^6)^y = b^{6y} \)
Con lo que tenemos que se ha de cumplir:
    \(4x = n = 6y\)
El menor número n que verifica la condición pedida es el mínimo común múltiplo (m.c.m) de 4 y 6, es decir, el número 12.

En general, si el orden de un elemento a es p y el de un elemento b es q, el orden de (a*b) es el m.c.m (p, q)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás