EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sea (G, *) un grupo y sea \( f : G \rightarrow G \) una aplicación tal que:
    \(f : g \rightarrow a \ast g \ast a^{-1}\)
Siendo a un elemento fijo de G y a-1 su simétrico. Probar que f es un isomorfismo de (G, *) en (G, *).

RESPUESTA 39

Comprobamos si f es un homomorfismo:
    \(\begin{array}{l} \forall x, y \in G \; : \; f(x \ast y) a \ast (x \ast y) \ast a^{-1} \underleftrightarrow{\;\; (1) \;\; } a \ast x \ast y \ast a^{-1} \\  \\ \underleftrightarrow{\;\; (2) \;\; } a \ast x \ast e \ast y \ast a^{-1} = a \ast x \ast a^{-1} \ast a \ast y \ast a^{-1} =\\  \\ = (a \ast x \ast a^{-1}) \ast (a \ast y \ast a^{-1}) = f(x) \ast f(y) \end{array}\)
En (1) hemos aplicado la propiedad asociativa y en (2) la definición de elemento neutro. Con todo ello hemos demostrado que la aplicación es homomorfismo. Para que sea isomorfismo se ha de tener:
    \(\forall x \in Ker \; f \; : \; f(x) = e \; ; \; a \ast x \ast a^{-1} = e \)
Operando con a por la derecha:
    \(a \ast x \ast a^{-1} \ast a \; \rightarrow \; e \ast a = a = a \ast x \)
Operando con \( a^{-1} \) por la izquierda en el último resultado:
    \(a^{-1} \ast a = a^{-1} \ast a \ast x \; \rightarrow \; e = e \ast x \; \rightarrow \; e = x \)
Y, por lo tanto, la aplicación dada si es isomorfismo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás