EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sea (G, *) un grupo y consideremos la aplicación:
    \(G_{\ast} \rightarrow G_{\ast} \; : \; G \rightarrow f(g) = g^{-1}\)
Se sabe además que (G, *) es abeliano. Probar que las aplicación dada es un isomorfismo.

RESPUESTA 38

Vemos primero si la aplicación dada es homomorfismo:
    \(\forall a, b \in G \; \left \{ \begin{array}{l} f(a \ast b) = (a \ast)^{-1} = b^{-1} \ast a^{-1} \\ \\ f(a) \ast f(b) = a^{-1} \ast b^{-1} \underrightarrow{\#} = b^{-1} \ast a^{-1} \end{array} \right\} \; f(a \ast b) = f(a) \ast f(b) \)

    (#) Aplicamos la propiedad de ser el grupo aveliano.
Para ver si la aplicación es isomorfismo basta con demostrar que el núcleo sólo posee un elemento. Tenemos:
    \(\forall x \in Ker \; f \; : \; f(x) = e' \; ; \; x^{-1} = e' \; \rightarrow \; x \ast x^{-1} = x \ast e' \; \rightarrow \; e' = x \)
El núcleo sólo posee un elemento, por lo tanto la aplicación es biyectiva y, en consecuencia, es isomorfismo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás