Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de teoría de grupos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 
RESPUESTA 37

Construimos la tabla de (G, +) sabiendo que la operación la suma de números enteros módulo 4.
    \(\begin{matrix} + & \bar{0} & \bar{1} & \bar{2} & \bar{3} \\ \bar{0} & \bar{0} & \bar{1} & \bar{2} & \bar{3} \\ \bar{1} & \bar{1} & \bar{2} & \bar{3}& \bar{0} \\ \bar{2} & \bar{2} & \bar{3} & \bar{0} & \bar{1} \\ \bar{3} & \bar{3} & \bar{0} & \bar{1} & \bar{2} \end{matrix}\)
Se observa, por el resultado de operar los elementos de G que la ley es de composición interna.
El elemento neutro es el \(\bar{0} \) (para encontrar el elemento neutro se busca dentro de la tabla una columna cuyos elementos coincidan con los de la columna exterior y una fila cuyos elementos coincidan con los de la exterior; la celda en la que intercepten es la que contiene al elemento neutro.
Los elementos simétricos son:
    \( \bar{0} \; \leftrightarrow \; \bar{0} \; ; \; \bar{1} \; \leftrightarrow \; \bar{3} \; ; \; \bar{2} \; \leftrightarrow \; \bar{2}\)
Comprobamos la propiedad asociativa:
    \((\bar{1} + \bar{2}) + \bar{3} = \bar{3} + \bar{3} = \bar{2} \)

    \(\bar{1} + (\bar{2}) + \bar{3} = \bar{1} + \bar{1} = \bar{2} \)
Para asegurarnos del cumplimiento de esta propiedad, debemos comprobarla con todos los elementos, demostrando que no existe ningún contraejemplo. Caso de encontrar alguno, lógicamente, la construcción no serían grupo.
La propiedad conmutativa se verifica sin más que comprobar que la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal.
La tabla no puede tener ninguna línea con algún elemento repetido, pues entonces no sería grupo. Caso de haber algún elemento repetido, se demuestra que la estructura no es grupo por la propiedad de los elementos de ser regulares.

Según el teorema de Lagrange, los subgrupos que puede tener este grupo han de ser de orden divisor del orden del grupo, es decir, serán de orden 1, 2 y 4. Tenemos:
    \(H_1 = \{ \bar{0}\} \; ; \; H_2 = \{ \bar{0}, \bar{2}\} \; ; \; H_4 = \{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \)
H1 y H4 son llamados subgrupos impropios y H2 es un subgrupo propio. Todos los subgrupos son invariantes por ser (G, +) abeliano (conmutativo)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás