EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Demostrar las propiedades siguientes para los elementos de un grupo:
Que todos los elementos de un grupo son regulares.
Que el elemento neutro de un subgrupo H de un grupo G coincide con el elemento neutro de G y que el simétrico de todo elemento a es el mismo en H y en G.

RESPUESTA 36

Decir que un elemento a es regular, significa:
    Si \(a b = a c \; \rightarrow \; b = c\)
Tenemos entonces:
    \(\begin{array}{l}
    (a · b) = (a · c) \; \rightarrow \; a' · (a · b) = a' ·(a · c) \; \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow \; (a' · a) · b = (a' · a) · c \; \rightarrow \; b = c
    \end{array} \)
Donde \(a’\) es el simétrico de \(a\).

Para la segunda de las cuestiones, supongamos que el elemento neutro en el grupo es e y en el subgrupo es e’, se tiene:
    \(\left. \begin{array}{l} Operando \; en \; G : e \times e' = e' \\ \\ Operando \; en \; H : e' \times e' = e' \end{array} \right\} \; e \times e' = e' \times e' \)
Pero como todos los elementos del grupo son regulares, de la última igualdad se desprende que e = e’.

Para la tercera cuestión, supongamos que existen dos simétricos distintos para un elemento a y que sean estos \( a’ \in G \; y \; a” \in H \) . Se tiene:
    \(\left. \begin{array}{l} Operando \; en \; G : a \times a' = e \\ \\ Operando \; en \; H : a \times a"' = e \end{array} \right\} \; a \times a' = a \times a" \)
Pero como todos los elementos del grupo son regulares, de la última igualdad se desprende que \( a’ = a”\).
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás