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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 34

A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio 33, vamos a determinar los cogrupos a izquierda y derecha para cada uno de los subgrupos del grupo de orden 6 obtenido. Por la izquierda y para H1:
    \( \begin{array}{l} I H_1 = f_1 H_1 = H_1 \; \rightarrow \; C_{11} = \{f_1, I\}\\ \\ f_2 H_1 = f_4 H_1 = \{f_2, f_4 \}\; \rightarrow \; C_{12} = \{f_2, f_4\} \\ \\ f_3 H_1 = f_5 H_1 = \{f_3, f_5 \}\; \rightarrow \; C_{13} = \{f_3, f_5\} \end{array} \)
Tenemos, por tanto, tres cogrupos diferentes para H1, que son:
    \(C_{11} = \{f_1, I\} \; ; \; C_{12} = \{f_2, f_4\} \; ; \; C_{13} = \{f_3, f_5\} \)
Haciendo de igual modo, los cogrupos a izquierda para H2, H5 y H34 son:
    Para \(H_2 \; \rightarrow \; C_{21} = \{f_2, I\} \; ; \; C_{22} = \{f_1, f_3\} \; ; \; C_{23} = \{f_4, f_5\} \)

    Para \(H_5 \; \rightarrow \; C_{51} = \{f_5, I\} \; ; \; C_{52} = \{f_1, f_4\} \; ; \; C_{53} = \{f_2, f_3\} \)

    Para \(H_{34} \; \rightarrow \; C_{341} = \{f_3, f_4, I\} \; ; \; C_{342} = \{f_1, f_2, f_5\} \)
Los cogrupos a derecha se obtienen análogamente. Para H1:
    \( \begin{array}{l} H_1 I = H_1 f_1 = H_1 \; \rightarrow \; C_{11} = \{f_1, I\}\\ \\ H_1 f_2 = H_1 f_3 = \{f_2, f_3 \}\; \rightarrow \; C_{12} = \{f_2, f_3\} \\ \\ H_1 f_4 = H_1 f_5 = \{f_4, f_5 \}\; \rightarrow \; C_{13} = \{f_4, f_5\} \end{array} \)
Y, por lo tanto, los cogrupos a derecha para H1 son:
    \(C_{11} = \{I, f_1\} \; ; \;C_{12} = \{f_2, f_3\} \; ; \;C_{13} = \{f_4, f_5\} \)
Haciendo igual para los demás subgrupos, sus cogrupos a derecha son:
    Para \(H_2 \; \rightarrow \; C_{21} = \{f_2, I\} \; ; \; C_{22} = \{f_1, f_4\} \; ; \; C_{23} = \{f_3, f_5\} \)

    Para \(H_5 \; \rightarrow \; C_{51} = \{f_5, I\} \; ; \; C_{52} = \{f_1, f_3\} \; ; \; C_{53} = \{f_2, f_4\} \)

    Para \(H_{34} \; \rightarrow \; C_{341} = \{f_3, f_4, I\} \; ; \; C_{342} = \{f_1, f_2, f_5\} \)
Decimos que un subgrupo N, de un grupo G, es normal o distinguido, cuando es un subgrupo invariante por conjugación.

Por teoría sabemos que para que un subgrupo de un grupo sea un subgrupo normal o subgrupo distinguido, los cogrupos que dicho subgrupo forme a izquierda y derecha deben coincidir, por lo tanto, teniendo en cuenta el resultado anterior, los subgrupos normales que se tienen son:
    \(H_{34} = \{I, f_3, f_4 \}\)
También podríamos haber determinado los subgrupos normales sabiendo que una condición necesaria y suficiente para que un subgrupo sea normal o distinguido es:
    \(\forall \; f_i \in F \; : \; f_i H_j f_i^{-1} \in H_j \; \Leftrightarrow \; H_j \) normal
Al ser H un subgrupo normal, sabemos que existe una relación de equivalencia definida en F en la forma:
    \(f_i \; R \; f_j \; \Leftrightarrow \; f_i f_j^{-1} \in H \)
Y por lo tanto, tal relación de equivalencia induce en F una partición cuyas clases son los cogrupos determinados por H. Tenemos según eso:
    \(F \; / \; R = F \; / \; H = \{ H I \; ; \; H f_i \}\)
Se demuestra que la relación de equivalencia R está bien definida, pues dos elementos sólo se relacionan entre si, según R, si y sólo si pertenecen al mismo cogrupo.

Esta relación de equivalencia es compatible con la ley del grupo y, por tanto, se cumple:
    \(\left. \begin{array}{l} f_i \; R \; f_j \\ \\ f_r \; R \; f_s \end{array} \right\} \; f_i f_r \; R \; f_j f_s\)
Donde se tiene que la composición de las clases es igual a la clase del compuesto.
Según lo dicho, la tabla del grupo cociente será de la forma:
    \(\begin{matrix} F/R & H I & H f_1 \\ \\ H I & H I & H f_1 \\ \\ H f_1 & H f_1 & H I \end{matrix}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás