EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sea P la recta proyectiva real, de manera que la aplicación:
    \(\displaystyle x \rightarrow \frac{1}{x} \)
Sea una biyección de P.
Se consideran las aplicaciones f1 y f2 de P en si misma definidas en la forma:
    \(\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x} \; \; ; \; \; f_2(x) = 1-x\)
Demostrar que f1 y f2 engendran un grupo de orden 6, cuando se toma como ley de composición la composición de aplicaciones. Formar la tabla y hallar los subgrupos propios.

RESPUESTA 33

Vamos a ver en primer lugar los elementos distintos que se generan
    \( \begin{array}{l} f_1 f_1 = \displaystyle f_1[f_1(x)] = f_1\left(\frac{1}{x}\right) = x = I \\ \\ f_1 f_2 =\displaystyle f_1[f_2(x)] = f_1\left(1-x\right) = \frac{1}{1-x} = f_3 \\ \\ f_2 f_1 =\displaystyle f_2[f_1(x)] = f_2\left(\frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} = f_4 \\ \\ f_1 f_4 =\displaystyle f_1[f_4(x)] = f_1\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{x}{x-1} = f_5 \end{array} \)
En estas condiciones no debe aparecer ningún elemento nuevo. Formando la tabla, se obtiene que el conjunto,
    \(F = \displaystyle \left\{f_1 = \frac{1}{x} ; f_2 = 1-x ; f_3 = \frac{1}{1-x} ; f_4 = \frac{x-1}{x} ; f_5 = \frac{x}{x-1} ; I \right\} \)
Es estable para la composición de aplicaciones.
Se cumple la propiedad asociativa por cumplirla, en general, la composición de aplicaciones. Existe elemento unidad (elemento neutro) que es la composición identidad. Todo elemento posee simétrico:
    \(\begin{array}{l} f_1(x) f_1(x) = f_2(x) f_2(x) = f_3(x) f_4(x) = \\  \\ = f_4(x) f_3(x) = f_5(x) f_5(x) = I \end{array}\)
De ahí se deduce que el conjunto F con la ley de composición definida en él como composición de aplicaciones, forma un grupo de orden 6, por ser este el número de elementos que lo componen.
Los subgrupos propios que puede tener F son de orden 2 y 3 (orden divisor del orden del grupo). Tenemos:
    \(H_1 = \{I, f_1\} \; ; \; H_2 = \{I, f_2\} \; ; \; H_5 = \{I, f_5\} \; ; \; H_{34} = \{I, f_3, f_4\} \)
Los tres primeros de orden 2 y el H34 de orden 3.
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tema escrito por: José Antonio Hervás