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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 33

Vamos a ver en primer lugar los elementos distintos que se generan
    \( \begin{array}{l} f_1 f_1 = \displaystyle f_1[f_1(x)] = f_1\left(\frac{1}{x}\right) = x = I \\ \\ f_1 f_2 =\displaystyle f_1[f_2(x)] = f_1\left(1-x\right) = \frac{1}{1-x} = f_3 \\ \\ f_2 f_1 =\displaystyle f_2[f_1(x)] = f_2\left(\frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} = f_4 \\ \\ f_1 f_4 =\displaystyle f_1[f_4(x)] = f_1\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{x}{x-1} = f_5 \end{array} \)
En estas condiciones no debe aparecer ningún elemento nuevo. Formando la tabla, se obtiene que el conjunto,
    \(F = \displaystyle \left\{f_1 = \frac{1}{x} ; f_2 = 1-x ; f_3 = \frac{1}{1-x} ; f_4 = \frac{x-1}{x} ; f_5 = \frac{x}{x-1} ; I \right\} \)
Es estable para la composición de aplicaciones.
Se cumple la propiedad asociativa por cumplirla, en general, la composición de aplicaciones. Existe elemento unidad (elemento neutro) que es la composición identidad. Todo elemento posee simétrico:
    \(\begin{array}{l} f_1(x) f_1(x) = f_2(x) f_2(x) = f_3(x) f_4(x) = \\  \\ = f_4(x) f_3(x) = f_5(x) f_5(x) = I \end{array}\)
De ahí se deduce que el conjunto F con la ley de composición definida en él como composición de aplicaciones, forma un grupo de orden 6, por ser este el número de elementos que lo componen.
Los subgrupos propios que puede tener F son de orden 2 y 3 (orden divisor del orden del grupo). Tenemos:
    \(H_1 = \{I, f_1\} \; ; \; H_2 = \{I, f_2\} \; ; \; H_5 = \{I, f_5\} \; ; \; H_{34} = \{I, f_3, f_4\} \)
Los tres primeros de orden 2 y el H34 de orden 3.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS PARA ESTUDIOS TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás