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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA 32

La ley de composición es interna, pues se tiene:
    \(\left. \begin{array}{l} x \neq 0 \\ \\ x\,' \neq 0 \end{array} \right\} \; \displaystyle x x\,' \neq 0 \in R^\ast \; ; \; \frac{y\,'}{x} + x\,' y \in R\)
Propiedad asociativa. Se trata de desarrollar miembro a miembro las expresiones:
    \([(x, y) \ast (x\,', y\,')] \ast (x\,", y\,") \; \; ; \; \; (x, y) \ast [(x\,', y\,') \ast (x\,", y\,")]\)
Y ver que los dos términos coinciden por lo que podemos decir que se cumple la propiedad asociativa.
Elemento neutro:
    \( (x\, , y)\ast(e_1\, , e_2) = (e_1\, , e_2 ) \ast (x\, , y) = (x\, , y) \)
Operando tenemos:
    \((x\, , y)\ast(e_1\, , e_2) = \displaystyle \left(x e_1 \; , \; \frac{e_2}{x} + e_1y\right) = (x, y)\)
De donde podemos poner:
    \(x e_1 = x \; \rightarrow e_1 = 1 \)

    \( \displaystyle \frac{e_2}{x} + e_1y = y \; \rightarrow \frac{e_2}{x} + y = y\; \rightarrow \frac{e_2}{x} = 0 \; \rightarrow e_2 = 0\)
El elemento neutro será, por tanto, de la forma:
    \((e_1, e_2) = (1, 0) \)
Elementos simétricos:
    \((a, b) \ast (x, y) = (1, 0) \; \; ; \; \; (x, y) \ast (a, b) = (1, 0) \)
Operando por la izquierda:
    \((x, y) \ast (a, b) = \displaystyle \left(x a \; , \; \frac{b}{x} + a y\right) = (1, 0)\)
De donde se tiene:
    \(\begin{array}{l} x a = 1 \; \rightarrow x = 1/a \\  \\ \displaystyle \frac{b}{x} + a y = 0 \; \rightarrow \; b a + a y = 0 \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; a y = - b a = - a b \; \rightarrow \; y = - b \end{array}\)
El elemento simétrico del (a, b) por la izquierda será, entonces:
    \([(a, b)]^{-1}= (1/a \; , \; -b) \)
Si obtenemos el simétrico por la derecha, comprobamos que coincide con el ya calculado.
Ley de simplificación. Siendo (a, b) distinto de (1, 0), por la derecha:
    \((a, b) \ast (x, y) = (a, b) \ast (x\,', y\,' ) \; \rightarrow \; (x, y) = (x\,', y\,' ) \)
Operando por la derecha tenemos:
    \(\left. \begin{array}{l} (a, b) \ast (x, y) = \displaystyle \left(a x \; , \; \frac{y}{a} + x b\right) \\ \\ \\ (a, b) \ast (x\,' , y\,') = \displaystyle \left(a x\,' \; , \; \frac{y\,'}{a} + x\,' b\right) \end{array} \right\} \; \begin{array}{l} a x = a x\,' \; \rightarrow \; x = x\,' \\ \\ \\ \frac{y}{a} + x b = \frac{y\,'}{a} + x\,' b\end{array} \)
De donde, al tenerse \( x = x\,' \) se deduce:
    \(\displaystyle \frac{y}{a} = \frac{y\,'}{a} \; \rightarrow \; y = y\,' \; \rightarrow \; (x, y) = (x\,', y\,' )\)
Por la izquierda se demuestra de igual forma la ley de simplificación.

Podemos decir, por tanto, que al cumplir todas las propiedades necesarias, el conjunto R* x R tiene estructura de grupo para la ley que hemos definido en él.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás