Probar que el conjunto de elementos de la forma:

\(A = \{ (a, b) \; / \; a, b \in Q \; \; ; a \neq 0 \} \)

Con una ley de composición interna definida en la forma:

\( (a, b) · (a \, ' , b \, ') = (a · a \, ' \,, b · a \, ' + b\,'\)

Forma un grupo. ¿Es abeliano?
Determinar así mismo que el conjunto de pares de la forma:

\(H = \{ (1, b) \; / \; b \in Q \} \)

Es un subgrupo de A.

RESPUESTA 31

La ley de composición es interna, por hipótesis. La propiedad asociativa:

\([(a, b)·(a\,',b\,')] · (a\,", b\, ") = (a, b) · [(a\,',b\,') · (a\,", b\, ")] \)

Puede comprobarse sin más que desarrollar los dos miembros y observar que dan el mismo resultado.

Elemento neutro. Se ha de cumplir:

\( (a\, , b)·(e_1\, , e_2) = (e_1\, , e_2 ) · (a\, , b) = (a\, , b) \)

Operando tenemos:

\( (a\, , b)·(e_1\, , e_2) = (a· e_1\, , b· e:1 + e_2 ) = (a\, , b) \)

Con lo que podemos poner:

\( \begin{array}{l} a· e_1 = a \rightarrow \; e_1 = 1 \\  \\ b· e_1 + e_2 = b \rightarrow \; b · e_1 - b = -e_2 \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow b(e_1 - 1) = -e_2 \rightarrow e_1 = 1 \; ; \; e_2 = 0 \end{array}\)

Por lo tanto, el elemento neutro de la estructura será:

\((e_1\; ; \; e_2) = (1, 0)\)

Elementos simétricos. Se ha de cumplir:

\(\forall \; (a\, , b) \in A \; , \; \exists \; (x\, , y) \; : \; (x\, , y) · (a\, , b) = (a\, , b) · (x\, , y) = e = (1, 0) \)

Operando por la izquierda, tenemos:

\((x\, , y) · (a\, , b) = ( x · a \; , \; y · a + b ) = (1\; , \; 0) \)

Y podemos poner:

\(x · a = 1 \; \rightarrow \; x = 1/a \; \; ; \; \; y · a + b = 0 \; \rightarrow \; y = - b/a\)

Por lo tanto, el elemento simétrico por la izquierda de (a , b) es (1/a , - b/a).
Haciendo el simétrico por la derecha se comprueba que coincide.
Propiedad conmutativa:

\(\forall (a\, , b) \; \; ; \; \; (a\,' , b\,') \; , \; \; (a\, , b) · (a\,' , b\,') = (a\,' , b\,') · (a\, , b) \)

Y operando tenemos:

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l} (a\, , b) · (a\,' , b\,') = (a · a\,' \, , \, b · a\,' + b\, ' \\ \\ (a\,' , b\,') · (a\, , b) = ( a\,' · a \; , \; b\,' · a + b) \end{array} \right\} \; (a · a\,' \, , \, b · a\,' + b\, ' = \\
 \\
¿? = ( a\,' · a \; , \; b\,' · a + b)
\end{array} \)

La condición anterior se cumplirá cuando se tenga:

\(\begin{array}{l} a · a\,' = a\,' · a \; , \; \; \forall a, a\,' \in Q \\  \\ b · a\,' + b\, ' = b\,' · a + b \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; b( a\, ' - 1) = b\,' (a - 1) \neq \forall a, a\,' , b, b\,' \in Q \end{array}\)

Como los términos no resultan iguales para todos los elementos de Q, concluimos que el grupo no es abeliano.
Veamos ahora si el conjunto de pares dados en la segunda parte del enunciado es un subgrupo de A para la ley de composición interna definida en él. Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que ello ocurra es:

\(\forall (1, a) , (1, b) \in H \; \rightarrow \; (1, a) · [(1, b)]^{-1} \in H \)

Operando tenemos:

\( \begin{array}{l}
(1, a) · [(1, b)]^{-1} = (1, a) · (1, -b) = \\
 \\
= [1· 1, a· 1 + (-b)] = [1, (a-b)] \in H
\end{array}\)

Puesto que (a-b) es un elemento de Q. No es necesario que b sea distinto de cero.