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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 30

La tabla correspondiente es:
    \(\begin{matrix} & e & a & b & a^2 & a\,b & b\,a \\ \\ e & e & a & b & a^2 & a\,b & b\,a \\ \\ a & a & a^2 & a\, b & e & b\, a & b \\ \\b & b & b\,a & e & a\,b & a^2 & a \\ \\ a^2 & a^2 & e & b\,a & a & b & a\, b \\ \\ a\,b & a\, b & b & a & b\, a & e & a^2 \\ \\ b\, a& b\, a & a\, b& a^2 & b & a & e \end{matrix}\)
Observaciones:
Al operar \( a \) consigo mismo obtenemos un nuevo elemento, \(a^2 \), y lo colocamos en la tabla. Hacemos de igual modo al obtener ab y ba. En esas condiciones no debe aparecer ningún elemento nuevo puesto que nos han dicho que el grupo engendrado es de orden seis.
    \(a a\,b = a^2 b = b\, a \; ; \; a\, b a = a b a = a a^2 b = a^3 b = e b = b \)

    \( b a^2 = b a a = a^2 b a = a^2 b\,a = a^2 a^2 b = a^3 a\,b = e a\,b = a\, b \)
    \(b a\,b = (b\,a)b = a^2 b b = a^2 b^2 = a^2 e = a^2 \)

    \(b b\,a = b^2 a = e a = a \)


    \(a^2 b\,a = a^2 a^2 b = a^3 a\,b = e a\,b = a\,b\)

    \(a\,b a = a b\,a = a a^2 b = a^3 b = e b = b\)


    \(a\, b b = a b^2 = a e = a \)

    \(a\, b a^2 = a (b\,a) = a (a^2 b) a = a^3 b a = b a = b \, a \)

    \((b\,a)a = (a^2 b)a = a^2 b \, a = a^2 a^2 b = a^3 a\,b = e a\,b = a\, b\)
    \((b\,a) (a\, b) = (a^2 b) (a\, b) = a^2 b\,a b = a^2 a^2 b b = a^3 a b^2 = a \)

    \( (ba) (ba) = (a^2 b) b\,a = a^2 b \, b \, a = a^2 \, b^2\, a = a^2 \,e\,a = a^2 \, a = a^3 = e \)
Los subgrupos propios que podemos obtener son:
De orden 2:
    \((e \; , \; b) \; ; \; (e \; , \; ab) \; ; \; (e \; , \; ba) \)
De orden 3:
    \((e \; ,\; a\;, \; a^2) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás