EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Dado el grupo (G, *) y la aplicación:
    \(\varphi : G \rightarrow G \)

    \( \; \; \; X \rightarrow \varphi (X) = X^{-1} \)
Demostrar que es condición necesaria y suficiente para que φ sea isomorfismo el que G sea abeliano.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 29

Si \( \varphi \) es isomorfismo, se tiene:
    \(\left. \begin{array}{l} \varphi (x y) = \varphi (x) \varphi (y) = x^{-1} y^{-1} \\ \\ \varphi (x y) = (x y)^{-1} = y^{-1} x^{-1} \end{array} \right\} \; x^{-1} y^{-1} = y^{-1} x^{-1} \)
Y, por lo tanto, G es abeliano. Si G es abeliano se tiene:
    \((x y) = (y x)\)

    \(\varphi(x y) = (x y)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = x^{-1} y^{-1} = \varphi(x) \varphi (y) \)
Lo que significa que \( \varphi \) es un isomorfismo. Queda así demostrado lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás