Dado el grupo (G, *) y la aplicación:

\(\varphi : G \rightarrow G \)

\( \; \; \; X \rightarrow \varphi (X) = X^{-1} \)

Demostrar que es condición necesaria y suficiente para que φ sea isomorfismo el que G sea abeliano.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 29

Si \( \varphi \) es isomorfismo, se tiene:

\(\left. \begin{array}{l} \varphi (x · y) = \varphi (x) · \varphi (y) = x^{-1} · y^{-1} \\ \\ \varphi (x · y) = (x · y)^{-1} = y^{-1} · x^{-1} \end{array} \right\} \; x^{-1} · y^{-1} = y^{-1} · x^{-1} \)

Y, por lo tanto, G es abeliano. Si G es abeliano se tiene:

\((x · y) = (y · x)\)

\(\varphi(x · y) = (x · y)^{-1} = y^{-1} · x^{-1} = x^{-1} · y^{-1} = \varphi(x) · \varphi (y) \)

Lo que significa que \( \varphi \) es un isomorfismo. Queda así demostrado lo que nos proponíamos.