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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 27

Siendo f un isomorfismo de (E, *) en (E’, •), para demostrar que siendo a un elemento regular para * entonces f(a) lo es para •, se ha de cumplir:
    \(f(a) b\,' = (f(a) c\,' \rightarrow b\,' = c\,' \; \; \; \forall b\,' , c\,' \in E\,' \)
Al ser f un isomormismo tenemos:
    Si \(b\,' , c\,' \in E\,' \rightarrow \; \exists \; b, c \in E \; \; / \; \; f(b) = b\,' \; ; \; f(c) = c\,'\)
Con lo que podemos hacer
    \(f(a) f(b) = f(a) f(c) \; \; ; f \) isomorfismo \( f(a \ast b) = f(a \ast c) \)
Como f es inyectivo, tenemos:
    \( f(a \ast b) = f(a \ast c) \Leftrightarrow a \ast b = a \ast \rightarrow b = c\)
Puesto que a es regular para (*)
Como f es inyectivo,
    Si \(b = c \rightarrow f(b) f(c) \rightarrow b\,' = c\,'\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás