EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Dado un grupo multiplicativo G, se define una aplicación de G en G mediante:
    \(f(x) = a \, x \, a^{-1} \; \forall a \in G \) fijo
Demostrar que esta aplicación es un automorfismo. Demostrar que el conjunto de todos los automorfismos de esa forma (llamados automorfismos internos) para cada elemento fijo a, perteneciente a G, tiene estructura de grupo respecto del producto de aplicaciones.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 26

Puesto que tenemos un grupo multiplicativo, G, podemos hacer:
    \( \begin{array}{l}
    \left. \begin{array}{l} f : G \; \Rightarrow \; G \\ \\ f(x) = axa^{-1} \end{array} \right\} \; f(x · y) = a(x · y)a^{-1} = \\
     \\
    = a x y a^{-1} = a x a^{-1} a y a^{-1} = f(x) · f(y)
    \end{array}\)
Y resulta que f(x) es un homomorfismo. Para llegar al resultado hemos introducido el elemento neutro.
La aplicación dada es inyectiva, pues tenemos:
    Si \(f(x) = f(y) \; \rightarrow \; a x a^{-1} = a y a^{-1} \; \rightarrow \; x = y \)
Donde, teniendo en cuenta que estamos considerando un grupo multiplicativo, podemos simplificar los elementos regulares por la izquierda (respectivamente por la derecha) para llegar al resultado final escrito.
La aplicación es sobreyectiva, pues se tiene:
    \( \begin{array}{l}Sea\quad
    y \in G \; ; \; y = a x a^{-1} \; \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow \; a^{-1} y = a^{-1} a x a^{-1} = x a^{-1} \; \rightarrow \; a^{-1} y a = x a^{-1} a = x
    \end{array}\)
Y, por lo tanto:
    \( \forall \, y \in G \, \exists \, x \in G \; \; \; / \; \; \; y = f(x) \textrm{ siendo } x = a^{-1} y a \)
Tenemos, según lo visto, que f es un automorfismo, por ser homomorfismo biyectivo de G en G.
El conjunto de todos los automorfismos definidos como f será:
    \(A = \{ f_a \; \; / \; \; a \in G \}\)
Para que dicho conjunto sea un grupo respecto de la operación definida, la composición de los elementos de A debe ser un elemento de A. en general se tiene que la composición de dos endomorfismos es un endomorfismo:
    \(\begin{array}{l} (g f)(x y) = g[f(x y)] = g[f(x) f(y)] = \\  \\ = g[f(x)] g[f(y)] = (g f)(x) (g f)(y) \end{array}\)
El compuesto de dos automorfismos internos de G es otro automorfismo interno de G, pues se tiene:
    \( (f_a f_b)(x) = f_a[f_b(x)] = f_a (b x b^{-1}) = a (b x b^{-1}) a^{-1} = \)

    \( (a b)x(b^{-1} a^{-1}) = (a b)x(a b)^{-1} = f_{a b }(x) \; \forall x \in G \)
Propiedad asociativa: la cumple, en general, la composición de aplicaciones.
Elemento neutro:
    \(f_e (x) = e x e^{-1} = x \)
Siendo e el elemento neutro de G. Tenemos, por un lado:
    \((f_e f_a)(x) = f_e[f_a(x)] = f_e (a x a^{-1}) = e (a x a^{-1}) e^{-1} = \)

    \((ea)x(a^{-1} e^{-1}) = ax a^{-1} = f_a(x)\)
Y por otro:
    \((f_a f_e)(x) = f_a[f_e(x)] = f_a[e x e^{-1}] = f_a(x)\)
Elemento simétrico:
    \((f_a f_{a^{-1}})(x) = f_a[f_{a^{-1}}(x)] = f_a[a^{-1} x a] = \)

    \( = a ( a^{-1} x a) a^{-1} = (a a^{-1})x (a a^{-1}) = e x e^{-1} = f_e(x) \; \forall x \in G\)
Por lo tanto, A tiene estructura de grupo para la composición de aplicaciones. Este grupo será conmutativo cuando lo sea el grupo G.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás