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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 25

El conjunto de las raíces de x4 es:
    \(E = \{+1, -1, +i, -i \}\)
La tabla de multiplicar según la operación definida, es:
    \(\begin{matrix} & +1 & -1 & +i & -i \\\\ +1 & +1 & -1 & +i & -i \\\\ -1 & -1 & +1 & -i & +i \\ \\ +i & +i & -i & -1 & + 1 \\\\ -i & -i & + i & +1 & -1 \end{matrix} \)
Los elementos pertenecen al conjunto de los números complejos, por lo tanto, cumplen las propiedades asociativa y conmutativa por ser (C, •) un grupo conmutativo.

El elemento neutro es “1”, pues la composición de cualquier elemento con él, es invariante. Elementos simétricos: del “1” el “1” ; del “-1” el “-1” ; del “i” el “- i” y del “- i” el “i”.

Los subgrupos que podemos formar son \( E_1 = \{+1, -1\} \). No podemos formar más subgrupos, pues el orden de estos debe ser divisor del orden de E.

Sea ahora la aplicación:
    \(\begin{array}{l} T: Z \; \Rightarrow \; E \\ \; \; n \; \Rightarrow \; T(n) = i^n \end{array} \)
Tenemos:
    \(T(n_1 + n_2) = i^{n_1 + n_2} = i^{n_1} + i^{n_2} = T(n_1) \bullet T(n_2) \)
Por lo tanto, la aplicación es un homomorfismo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás