Demostrar que la estructura algebraica cuyo conjunto soporte E es el conjunto
de las cuatro raíces de la ecuación x4 = 1 y cuya operación
binaria interna es la multiplicación ordinaria de números complejos,
es un grupo. Hallar los subgrupos.
Demostrar que una transformación T(n) = in es un isomorfismo
de (Z, +) en (E, •)
RESPUESTA DEL EJERCICIO 25
El conjunto de las raíces de x4 es:
La tabla de multiplicar según la operación definida, es:
Los elementos pertenecen al conjunto de los números complejos, por lo
tanto, cumplen las propiedades asociativa y conmutativa por ser (C, •)
un grupo conmutativo.
El elemento neutro es “1”, pues la composición de cualquier
elemento con él, es invariante.
Elementos simétricos: del “1” el “1” ; del “-1”
el “-1” ; del “i” el “- i” y del “-
i” el “i”.
Los subgrupos que podemos formar son E1 = {+1, -1}. No podemos formar más
subgrupos, pues el orden de estos debe ser divisor del orden de E.
Sea la aplicación:
Tenemos:
Por lo tanto, la aplicación es un homomorfismo.
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - TEORÍA DE GRUPOS
|
|
|
|
|