Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de teoría de grupos

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 21

Para poner S como producto de trasposiciones, la ponemos primero como producto de ciclos:
    \(S = \begin{pmatrix} 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \\ \\ 4 \; \; 3 \; \; 1 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 10 \; \; 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 3 \\ \\ 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \; \; \; 10 \\ \\ 10 \; \; \; 9 \end{pmatrix} \)
Con lo que tenemos:
    \(S = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 10 \end{pmatrix} \)
Podemos obtener directamente las trasposiciones haciendo a partir de lo anterior:
    \( S = (1 \; \; 4) (4 \; \; 5 ) (5 \; \; 6) (6 \; \; 7 ) (7 \; \; 8) (8 \; \; 2) (2 \; \; 3) (9 \; \; 10) \)
La sustitución inversa de S es aquella que cumple:
    \(S^{-1} S = S S^{-1} = I \)
O lo que es igual:
    \(S^{-1} \begin{pmatrix} 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \\ \\ 4 \; \; 3 \; \; 1 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 10 \; \; 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \\ \\ 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \end{pmatrix} \)
Esta sustitución la obtenemos sabiendo que debe tener los mismos pares que S pero invertidos, por lo tanto:
    \(S^{-1} = \begin{pmatrix} 4 \; \; 3 \; \; 1 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 10 \; \; 9 \\ \\ 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 8 \; \; 9 \; \; 10 \\ \\ 3 \; \; 8 \; \; 2 \; \; 1 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 7 \; \; 10 \; \; 9 \end{pmatrix} \)
Desarrollando el producto de las dos sustituciones, S y S-1, se comprueba que son inversas.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás