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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 20

Para probar que en todo grupo finito un elemento y su inverso tienen el mismo orden, hacemos:

Sea n el orden de un elemento a, ello implica que an = e. Podemos escribir:
    \( (a^{-1})^n = (a^n)^{-1} = e^{-1} = e \)
Por lo tanto, si r es el orden del inverso de a, entonces r/n.

Por otro lado:
    \(a^r = (a^{-1})^{-r} = \left[(a^{-1})^r \right]^{-1} = e^{-1} = e \)
Lo que significa que n/r.
Por lo tanto, por la propiedad antisimétrica de la divisibilidad:
    Si \(n / r \vee r /n \Rightarrow r = n\)
Y el orden de a es igual al orden de su inverso.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás