EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Probar que en todo grupo finito, el orden de un elemento, a, es el mismo que el de su inverso.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 20

Para probar que en todo grupo finito un elemento y su inverso tienen el mismo orden, hacemos:

Sea n el orden de un elemento a, ello implica que an = e. Podemos escribir:
    \( (a^{-1})^n = (a^n)^{-1} = e^{-1} = e \)
Por lo tanto, si r es el orden del inverso de a, entonces r/n.

Por otro lado:
    \(a^r = (a^{-1})^{-r} = \left[(a^{-1})^r \right]^{-1} = e^{-1} = e \)
Lo que significa que n/r.
Por lo tanto, por la propiedad antisimétrica de la divisibilidad:
    Si \(n / r \vee r /n \Rightarrow r = n\)
Y el orden de a es igual al orden de su inverso.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás