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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 19

Se dice que un subgrupo normal o subgrupo distinguido N de un grupo G es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento n de N y cada g en G, el elemento gng-1 está en N.
El centro de un grupo (no abeliano) es el conjunto de los elementos del grupo que cumplen:
    Si \(\forall x \in G \; \; a x = x a \Rightarrow a \in C\)
Demostraremos primero que C es un subgrupo de G; para ello ha de cumplirse:
    \(\forall a, b \in C \; \; \Rightarrow a b^{-1 }\in C\)
Hacemos entonces:
    \(b \in C \; \Rightarrow b x = x b \; \; ; \; \; \forall x \in C\)
Puesto que b pertenece a G, existirá en G el inverso de b, (b-1) y podemos escribir:
    \(b^{-1} b x = b^{-1} x b \; \Rightarrow b^{-1} b x b^{-1} = b^{-1} x b b^{-1} \; \Rightarrow x b^{-1} = b^{-1} x \; \Rightarrow b^{-1} \in C\)
De ahí tenemos, siendo x un elemento de G:
    \(a (b^{-1} x) = (b^{-1} x) a \; \Rightarrow (a b^{-1})x = (x b^{-1})a = x(b^{-1} a) = x(a b^{-1}) \; \Rightarrow ab^{-1} \in C \)
Para que C sea un subgrupo invariante o distinguido se debe tener, como hemos dicho al principio:
    \( \forall x, b \in G \; \; ; \; \; x C x^{-1} \in C \; \; \; (\textrm{respect. } x^{-1} C x \in C) \)
Pero esta condición ya está implícita en la definición de centro de un grupo, pues se tiene:
    \(\forall x \in G \; \; a x = x a \Rightarrow C x = x C \)
Y puesto que todo elemento de un grupo admite simétrico:
    \(C x = x C \; \Rightarrow C x x^{-1} = x C x^{-1} = C \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás