Demostrar que el centro, C, de un grupo es un subgrupo distinguido.

RESPUESTA 19

Se dice que un subgrupo normal o subgrupo distinguido N de un grupo G es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento n de N y cada g en G, el elemento gng-1 está en N.
El centro de un grupo (no aveliano) es el conjunto de los elementos del grupo que cumplen:



Demostraremos primero que C es un subgrupo de G; para ello ha de cumplirse:



Hacemos entonces:



Puesto que b pertenece a G, existirá en G el inverso de b, (b^-1) y podemos escribir:



De ahí tenemos, siendo x un elemento de G:



Para que C sea un subgrupo invariante o distinguido se debe tener, como hemos dicho al principio:



Pero esta condición ya está implícita en la definición de centro de un grupo, pues se tiene:



Y puesto que todo elemento de un grupo admite simétrico: