Se considera el conjunto de las biyecciones siguientes:

\( \{ f(x) = x \; \; ; \; \; g(x) = -x \; \; ; \; \; h(x) = 1/x \; \; ; \; \; j(x) = - 1/x \} \)

Operando en la recta proyectiva real (obtenida añadiendo a los reales el punto infinito) o en el plano analítico (obtenido añadiendo a los complejos el punto infinito).

Demostrar que para la composición de aplicaciones este conjunto es un grupo y obtener todos los subgrupos propios.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 18

Para resolver la cuestión planteada, comenzamos formando la tabla de composición:

\(\begin{matrix} & f(x) & h(x) & g(x) & j(x) \\ \\ f(x) & f(x) & h(x) & g(x) & j(x) \\ \\ h(x) & h(x) & f(x) & j(x) & g(x) \\ \\ g(x) & g(x) & j(x) & f(x) & h(x) \\ \\ j(x) & j(x) & g(x) & h(x) & f(x) \end{matrix} \)

Analizando la tabla, podemos decir:

Propiedad asociativa.- Se cumple, puesto que la composición de aplicaciones es, en general, asociativa.
El elemento neutro del grupo es la aplicación identidad f(x) = x.
Cada elemento es simétrico de si mismo.

Ley de simplificación.- Todos los elementos son regulares, puesto que toda función biyectiva admite inversa.
La propiedad conmutativa se cumple ya que la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.
La anterior estructura es, por tanto, un grupo abeliano.

Según el teorema de Lagrange, los subgrupos propios que podemos formar son de orden 2, a saber:

\(H_1 = \{f(x) \; \; ; \; \; g(x) \} \; \; ; \; \; H_2 = \{f(x) \; \; ; \; \; h(x) \} \; \; ; \; \; H_3 = \{f(x) \; \; ; \; \; j(x) \}\)