Se considera el conjunto de las biyecciones siguientes:



Operando en la recta proyectiva real (obtenida añadiendo a los reales el punto infinito) o en el plano analítico (obtenido añadiendo a los complejos el punto infinito).
Demostrar que para la composición de aplicaciones este conjunto es un grupo y obtener todos los subgrupos propios.

RESPUESTA 18

Formamos la tabla de composición:



Analizando la tabla, podemos decir:

Propiedad asociativa.- Se cumple, puesto que la composición de aplicaciones es, en general, asociativa.
El elemento neutro del grupo es la aplicación identidad f(x) = x.
Cada elemento es simétrico de si mismo.
Ley de simplificación.- Todos los elementos son regulares, puesto que toda función biyectiva admite inversa.
La propiedad conmutativa se cumple ya que la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.
La anterior estructura es, por tanto, un grupo aveliano.

Según el teorema de Lagrange, los subgrupos propios que podemos formar son de orden 2, a saber: