EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Se considera el conjunto de las biyecciones siguientes:
    \( \{ f(x) = x \; \; ; \; \; g(x) = -x \; \; ; \; \; h(x) = 1/x \; \; ; \; \; j(x) = - 1/x \} \)
Operando en la recta proyectiva real (obtenida añadiendo a los reales el punto infinito) o en el plano analítico (obtenido añadiendo a los complejos el punto infinito).

Demostrar que para la composición de aplicaciones este conjunto es un grupo y obtener todos los subgrupos propios.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 18

Para resolver la cuestión planteada, comenzamos formando la tabla de composición:
    \(\begin{matrix} & f(x) & h(x) & g(x) & j(x) \\ \\ f(x) & f(x) & h(x) & g(x) & j(x) \\ \\ h(x) & h(x) & f(x) & j(x) & g(x) \\ \\ g(x) & g(x) & j(x) & f(x) & h(x) \\ \\ j(x) & j(x) & g(x) & h(x) & f(x) \end{matrix} \)
Analizando la tabla, podemos decir:
Propiedad asociativa.- Se cumple, puesto que la composición de aplicaciones es, en general, asociativa.
El elemento neutro del grupo es la aplicación identidad f(x) = x.
Cada elemento es simétrico de si mismo.

Ley de simplificación.- Todos los elementos son regulares, puesto que toda función biyectiva admite inversa.
La propiedad conmutativa se cumple ya que la tabla es simétrica respecto a la diagonal principal.
La anterior estructura es, por tanto, un grupo abeliano.
Según el teorema de Lagrange, los subgrupos propios que podemos formar son de orden 2, a saber:
    \(H_1 = \{f(x) \; \; ; \; \; g(x) \} \; \; ; \; \; H_2 = \{f(x) \; \; ; \; \; h(x) \} \; \; ; \; \; H_3 = \{f(x) \; \; ; \; \; j(x) \}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás