EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Sea G un grupo engendrado por los elementos a y b tales que cumplen:
    \(a^4 = e \; \; ; \; \; b^2 = e \; \; ; \; \; a \, b = b \, a^3 \)
Demostrar que se tiene:
    \(a^2 \, b = b \, a^2 \; \; ; \; \; a^3 \, b = b \, a\)
Deducir que G está formado por los elementos:
    \(G = \{e \; \; a \; \; a^2 \; \; a^3 \; \; b \; \; b \, a \; \; a^2 \, b\} \)
Formar la tabla y determinar los subgrupos de G.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 17

Vamos a demostrar el primer apartado. (para todos los pasos tendremos en cuenta que G es un grupo y, por lo tanto, se cumple la propiedad asociativa)
    \(a^2 b = a a b = a (a b) = a (b a^3) = (a b)a^3 = b a^6 = b a^2 e = b a^2 \)

    \(a^3 b = a (a^2 b) = a (b a^2) = (a b) a^2 = (b a^3)a^2 = b a a^4 = b a \)
Para ver cuántos elementos forman el grupo, vamos construyendo la tabla. Los primeros elementos que tenemos son:
    \(a \; \; ; \; \; b \; \; ; \; \; e = a^4 = b^2 \; \; ; \; \; a b = b a^3 \)
Operando resulta la tabla:
    \(\begin{matrix} & e & a & b & ab & a^2 & a^2 b & a^3 & a^3 b \\ \\ e & e &; a & b & ab & a^2 & a^2 b & a^3 & a^3 b \\ \\ a & a & a^2 & ab & a^2 b & a^3 & a^3 b & e & b \\ \\ b & b & a^3 b & e & a^3 & a^2 b & a^2 & ab & a \\ \\ ab & ab & b & a & e & a^3 b & a^3 & a^2 b & a^2 \\ \\ a^2 & a^2 & a^3 & a^2 b & e & b & a & ab \\ \\ a^b & a^2 b & ab & a^2 & a & b & e & a^3 b & a^3 \\ \\ a^3 & a^3 & e & a^3 b & b & a & ab & a^2 & a^2 b \\ \\ a^3 b & a^3 b & a^2 b & a^3 & a^2 & ab & a & b & e \end{matrix} \)
Donde, por ejemplo:
    \(b (ab) = (ba)b = (a^3b)b = a^3 b^2 = a^3 \, \; ; \; \; b(a^3 b) = (b a^3)b = (ab)b = a b^2 = a \)

    \((ab)(ab) = (ba^3) (ab) = ba^3 ab = b a^4 b = b e b = b^2 = e \)
Para los demás elementos las deducciones se hacen de forma análoga.

El orden de los subgrupos propios que podemos formar es, según el teorema de Lagrange, divisor del orden del grupo, es decir, 2 y 4.
De orden 2 tendremos los subgrupos:
    \( \{ e, b\} \; \; ; \; \; \{ e, a^2 b\} \; \; ; \; \; \{ e, ab\} \; \; ; \; \; \{ e, a^2\} \; \; ; \; \; \{e, a^3 b \} \)
Y de orden 4:
    \( \{ e, a, a^2, a^3 \}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás