Sea
G un grupo engendrado por los elementos a y b tales que cumplen:
Demostrar que se tiene:
Deducir que G está formado por los elementos:
Formar la tabla y determinar los subgrupos de G.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 17
Vamos a demostrar el primer apartado. (para todos los pasos
tendremos en cuenta que G es un grupo y, por lo tanto, se cumple
la propiedad asociativa)
Para ver cuántos elementos forman el grupo, vamos construyendo
la tabla. Los primeros elementos que tenemos son:
Operando resulta:
Donde, por ejemplo:
Para los demás elementos las deducciones se hacen de
forma análoga,
El orden de los subgrupos propios que podemos formar es, según
el teorema de Lagrange, divisor del orden del grupo, es decir,
2 y 4.
De orden 2 tendremos los subgrupos:
Y de orden 4:
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resueltos - problemas resueltos - TEORÍA DE GRUPOS
