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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 16

Como el grupo G es finito, el conjunto de las potencias de un elemento a de G ha de ser finito; por lo tanto, para algún par de exponentes m, n se ha de cumplir:
    \(a^m = a^n \Rightarrow a^{m-n} = a^k = e \)
Y, por consiguiente, existe elemento neutro.
Por otro lado podemos poner:
    siendo \(a^p , a^q \in \{ a^n\} \; \; \; a^p \times a^{-q} = a^{p-q} \in \{ a^n \}\)
Y, además, se tiene:
    \( a^p \times a^q = a^{p+q} = a ^{q+p} = a^q \times a^p \Rightarrow \{ a^n\}\) es grupo abeliano
Con lo que hemos deducido que el conjunto de las potencias de a (donde a es un elemento fijo de un grupo finito, G) forman un grupo abeliano finito.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás