Demostrar que el grupo Sn está engendrado por los ciclos (1 2 … n-1) y (n-1 n)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 15

Sabemos que toda permutación se puede poner como producto de transposiciones, por lo tanto, tenemos que demostrar que toda transposición pertenece al conjunto generado por los ciclos del enunciado. Para ello consideramos los productos:

\(\tau · \sigma · \tau^{-1} \; \; ; \; \; \tau^2 · \sigma · \tau^{-2} \; \; ··· \; \; \tau^i · \sigma · \tau^{-i} \; \; ; \; \; i = 1, 2, ··· , k \)

Donde:

\(\tau = (1 \; \; 2, ··· n-1) \; \; ; \; \; \sigma = (n-1 \; \; n) \; \; ; \; \; \tau^{-1} = (n-1, ··· , 2 \; \; 1) \)

Hacemos entonces:

\(\tau · \sigma · \tau^{-1} = (1 \; \; 2, ··· n-1) (n-1 \; \; n)(n-1, ··· , 2 \; \; 1) = \)

\(= (1 \; \; 2, ··· n-1)(1 \; \; n-1, ··· , 2) = (1 \; \; n) \)

Podemos desglosar las operaciones para entender mejor el proceso. En el primer producto desarrollado comenzamos con el 1 que pasa, por la primera permutación, al n-1 y este, por la segunda, pasa al n. Por lo tanto, el 1 pasa al n. A continuación, el n, que no está en la primera permutación, pasa al n-1. Seguidamente, el n-1, por la primera permutación, pasa al n-2 y así sucesivamente hasta llegar al 2, y como este pasa al 1, que ya está puesto, se acaba la operación.

En el segundo producto, por la primera permutación el 1 pasa al n; después, el n al n-1 y este al 1, pero como ya está puesto, no se considera. A continuación, el n-1 pasa al n-2 por la primera y el n-2 pasa al n-1 por la segunda; por lo tanto, el n-1 queda invariante. Para todos los demás elementos ocurre de modo análogo.

Continuando el problema vamos a desarrollar el segundo producto pero teniendo en cuenta la asociatividad. Ponemos:

\(\tau^2 · \sigma · \tau^{-2} = (1 \; \; 2, ··· n-1) (n-1 \; \; n)(n-1, ··· , 2 \; \; 1) = \)

\(= (1 \; \; 2, ··· n-1)(1 \; \; n-1, ··· , 2\; \; n) = (2 \; \; n) \)

Podemos deducir, según los resultados obtenidos, que se ha de cumplir:

\(\tau^i · \sigma · \tau^{-i} = (i \; \; n) \; \; ; \; \; i = 1, 2, ··· n-1 \)

Llamando C al conjunto de los ciclos considerados, podemos poner:

\((i \; \; n) \in C \; \; ; \; \; i = 1, 2, ··· n-1 \; \; ; \; \; C = \{ (1 \; \; 2, ··· n-1) (n-1 \; \; n) \}\)

Finalmente debemos demostrar que toda transposición se puede poner como producto de transposiciones de la forma (i n) con lo cual, estará contenida en C. Sea, por ejemplo, la transposición (a b). Para ver que esta transposición pertenece al conjunto C, hacemos:

(a n)(b n)(a n) = (a b)

Con lo que queda demostrado que C genera al grupo S_n.