Demostrar que toda permutación de orden 14 sobre 10 cifras es impar.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 14

Toda permutación se puede poner como producto de ciclos de longitud mayor o igual a 2 y el orden de una permutación es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los ciclos disjuntos que la componen.

\(\sigma = \gamma_1, ···, \gamma_k \; \; ; \; \; o(\sigma) = 14 = m.c.m. \; o(\gamma_i) \; \; 1 \leq i \leq k\)

Deben existir entonces 2 ciclos \(\gamma_i, \; \gamma_j \) tales que tengan respectivamente orden 2 y orden 7. Además estos ciclos son únicos puesto que entre los dos desplazan nueve cifras y, como no existen ciclos de longitud 1, la otra cifra quedará invariante. Podemos poner entonces:

\(\varepsilon (\sigma) = \varepsilon(\gamma_i) · \varepsilon(\gamma_j) = (-1)^1 (-1)^6 = -1\)

Y, por lo tanto \(\varepsilon (\sigma) \) es impar, como queríamos demostrar.