Demostrar que toda permutación de orden 14 sobre 10 cifras
es impar.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 14
Toda permutación se puede poner como producto de ciclos de
longitud mayor o igual a 2 y el orden de una permutación
es el mínimo común múltiplo de los órdenes
de los ciclos disjuntos que la componen.
\(\sigma = \gamma_1, ···, \gamma_k \; \; ; \; \; o(\sigma)
= 14 = m.c.m. \; o(\gamma_i) \; \; 1 \leq i \leq k\)
Deben existir entonces 2 ciclos \(\gamma_i, \; \gamma_j \) tales
que tengan respectivamente orden 2 y orden 7. Además estos
ciclos son únicos puesto que entre los dos desplazan nueve
cifras y, como no existen ciclos de longitud 1, la otra cifra quedará
invariante. Podemos poner entonces:
\(\varepsilon (\sigma) = \varepsilon(\gamma_i) · \varepsilon(\gamma_j)
= (-1)^1 (-1)^6 = -1\)
Y, por lo tanto \(\varepsilon (\sigma) \) es impar, como queríamos
demostrar.