EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Demostrar que un producto de ciclos no necesariamente disjuntos es par si y solo si contiene un número par de ciclos de longitud par.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 13

La paridad de un ciclo de longitud k ( número de elementos que posee) viene dado por (-1)k-1. Consideremos entonces el producto de los ciclos \( \gamma_1, иии, \gamma_p \) y calculamos su paridad:
    \( \varepsilon(\gamma_1, иии, \gamma_p) = \varepsilon(\gamma_1) иии \varepsilon(\gamma_p) \)
De estos ciclos, los que tengan longitud impar no afectarán al valor de la paridad, pues su valor será (+1); por consiguiente, podemos poner:
    \( \varepsilon(\gamma_1, иии, \gamma_p) = \varepsilon(\gamma_{i_1}, иии, \gamma_{i_p}) = \varepsilon(\gamma_{i_1}) иии \varepsilon(\gamma_{i_p}) \)
Donde \( \gamma_{i_1}, иии, \gamma_{i_p} \) son ciclos de longitud par. Cada uno de dichos ciclos tendrá paridad (-1) por ser su longitud par. De ahí que finalmente podamos poner:
    \( \varepsilon(\gamma_1, иии, \gamma_p) = \varepsilon(\gamma_{i_1}, иии, \gamma_{i_p}) = \varepsilon(\gamma_{i_1}) иии \varepsilon(\gamma_{i_p}) = (-1)^s \)
Y el valor final será 1 si y solo si s es par.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás