Demostrar que un producto de ciclos no necesariamente disjuntos es par si y solo si contiene un número par de ciclos de longitud par.

RESPUESTA 13

Sabemos que la paridad de un ciclo de longitud k ( número de elementos que posee) viene dado por (-1)^k-1. Consideremos entonces el producto de los ciclos g₁· · ·g_p y calculamos su paridad:



De estos ciclos, los que tengan longitud impar no afectarán al valor de la paridad, pues su valor será (+1); por consiguiente, podemos poner:



Donde son ciclos de longitud par. Cada uno de dichos ciclos tendrá paridad (-1) por ser su longitud par. De ahí que finalmente podamos poner:



Y el valor final será 1 si y solo si s es par.