EJERCICIOS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
problemas resueltos de teoría de grupos
grupos abelianos, isomorfismo de grupos,grupos de permutaciones

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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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Estudiar los subgrupos siguientes de S4 y determinar su orden:
1º) El conjunto de las permutaciones que transforman el conjunto {1, 2} en él mismo.
2º) El conjunto de las permutaciones que transforman el conjunto {1, 2} en el {1, 2} o el {3, 4}.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 12

Para el primer caso la idea consiste en que los elementos 1 y 2 solo permutan entre sí o permanecen fijos. Tendremos:
G = {I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}
Los órdenes respectivos de los anteriores elementos son: 4, 2, 2 y 2. Se comprueba fácilmente que forman un grupo desarrollando la tabla.

Para el segundo caso debemos considerar además de lo anterior que el elemento 1 puede conmutar con el 3 o el 4, lo que obliga al 2 a conmutar con el 4 o el 3, respectivamente:
G = {I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
Los órdenes respectivos son: 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4 y 4.
Como en el caso anterior, se comprueba que forman un grupo construyendo la tabla.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS
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tema escrito por: José Antonio Hervás