Estudiar los subgrupos siguientes de S4 y determinar su orden:

1º) El conjunto de las permutaciones que transforman el conjunto {1, 2} en él mismo.
2º) El conjunto de las permutaciones que transforman el conjunto {1, 2} en el {1, 2} o el {3, 4}.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 12

Para el primer caso la idea consiste en que los elementos 1 y 2 solo permutan entre sí o permanecen fijos. Tendremos:

G = {I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}

Los órdenes respectivos de los anteriores elementos son: 4, 2, 2 y 2. Se comprueba fácilmente que forman un grupo desarrollando la tabla.

Para el segundo caso debemos considerar además de lo anterior que el elemento 1 puede conmutar con el 3 o el 4, lo que obliga al 2 a conmutar con el 4 o el 3, respectivamente:

G = {I, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}

Los órdenes respectivos son: 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4 y 4.
Como en el caso anterior, se comprueba que forman un grupo construyendo la tabla.