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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 11

La aplicación que hace corresponder a cada permutación su paridad es un isomorfismo; por lo tanto, tenemos:
    \( \varepsilon(\tau \sigma \tau^{-1}) = \varepsilon(\tau) \varepsilon ( \sigma) (\tau^{-1}) = \varepsilon(\tau) \varepsilon (\sigma) \varepsilon^{-1}(\tau) = \varepsilon (\sigma) \)
Para demostrar que no tienen siempre el mismo número de inversiones, consideramos los ciclos siguientes: \( \sigma = (1 \; 2\; 3\; 4) \; , \; \tau = (1\; 4) \) y hacemos:
    \(\tau \sigma \tau^{-1} = ( 1 \; \; 4)( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 )( 1 \; \; 4)[{-1} = ( 1 \; \; 4)( 2 \; \; 3 \; \; 4) = ( 1 \; \; 4 \; \; 2 \; \; 3) \)
Para calcular el número de inversiones de una permutación existen dos métodos. El primero de ellos consiste en escribir la permutación en forma de sustitución y contar los elementos que haya a la derecha del mayor, después los que sean menores que su anterior y estén a la derecha de éste y así sucesivamente, sumando al final todos los valores. Desarrollamos este método en forma práctica; para la primera permutación tenemos:
    \( ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
Considerando la fila inferior, podemos ver que a la derecha del 4 hay un elemento menor (el 1) e igualmente tenemos para el 3 y el 2; esto nos da 3 inversiones.

Y para la segunda permutación:
    \( ( 1 \; \; 4 \; \; 2 \; \; 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix} \)
En la que vemos que a la derecha del 4 hay tres elementos menores (1, 2 y 3); a la derecha del 3 hay dos elementos menores (1 y 2) y a la derecha del 2 no hay elementos menores. En total tenemos para esta permutación, 5 inversiones

Vemos entonces que el elemento (1 2 3 4) tiene tres inversiones y el elemento (1 4 2 3) tiene cinco inversiones; por lo tanto, hemos demostrado la cuestión pedida.

El segundo método para calcular el número de inversiones de una permutación es un método gráfico que desarrollamos como sigue:
    Para (1 2 3 4)determinación gráfica de inversiones hay tres puntos de corte y, por lo tanto, 3 inversiones

    Para (1 4 2 3)cálculo gráfico de inversiones hay cinco puntos de corte y, por lo tanto, 5 inversiones
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás