Demostrar que dos permutaciones conjugadas, \( \sigma \textrm{
y } \tau \, \sigma \, \tau^{-1}\) tienen la misma paridad pero
no necesariamente el mismo número de inversiones.
RESPUESTA DEL EJERCICIO 11
La aplicación que hace corresponder a cada permutación
su paridad es un isomorfismo; por lo tanto, tenemos:
\( \varepsilon(\tau ˇ \sigma ˇ \tau^{-1}) = \varepsilon(\tau)
ˇ \varepsilon ( \sigma) ˇ (\tau^{-1}) = \varepsilon(\tau) ˇ\varepsilon
(\sigma) ˇ \varepsilon^{-1}(\tau) = \varepsilon (\sigma) \)
Para demostrar que no tienen siempre el mismo número de
inversiones, consideramos los ciclos siguientes: \( \sigma = (1
\; 2\; 3\; 4) \; , \; \tau = (1\; 4) \) y hacemos:
\(\tau ˇ \sigma ˇ \tau^{-1} = ( 1 \; \; 4)( 1 \; \; 2 \; \;
3 \; \; 4 )( 1 \; \; 4)[{-1} = ( 1 \; \; 4)( 2 \; \; 3 \; \;
4) = ( 1 \; \; 4 \; \; 2 \; \; 3) \)
Para calcular el número de inversiones de una permutación
existen dos métodos. El primero de ellos consiste en escribir
la permutación en forma de sustitución y contar
los elementos que haya a la derecha del mayor, después
los que sean menores que su anterior y estén a la derecha
de éste y así sucesivamente, sumando al final todos
los valores. Desarrollamos este método en forma práctica;
para la primera permutación tenemos:
\( ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4) = \begin{pmatrix} 1 & 2
& 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
Considerando la fila inferior, podemos ver que a la derecha del
4 hay un elemento menor (el 1) e igualmente tenemos para el 3
y el 2; esto nos da 3 inversiones.
Y para la segunda permutación:
\( ( 1 \; \; 4 \; \; 2 \; \; 3) = \begin{pmatrix} 1 & 2
& 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix} \)
En la que vemos que a la derecha del 4 hay tres elementos menores
(1, 2 y 3); a la derecha del 3 hay dos elementos menores (1 y
2) y a la derecha del 2 no hay elementos menores. En total tenemos
para esta permutación, 5 inversiones
Vemos entonces que el elemento (1 2 3 4) tiene tres inversiones
y el elemento (1 4 2 3) tiene cinco inversiones; por lo tanto,
hemos demostrado la cuestión pedida.
El segundo método para calcular el número de inversiones
de una permutación es un método gráfico que
desarrollamos como sigue:
Para (1 2 3 4)
hay tres puntos de corte y, por lo tanto, 3 inversiones
Para (1 4 2 3)
hay cinco puntos de corte y, por lo tanto, 5 inversiones