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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 10

Para saber cuales de los grupos simétricos y alternados son abelianos, estudiamos primero los grupos simétricos:
S1 = {I} → abeliano

S2 = {1, 2} = {(1, 2) , I} ; (1 2)(1 2) = I → abeliano

S3 = {1, 2, 3} = {I, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
Podemos comprobar que este grupo no es abeliano pues se tiene:
(2 3)(1 2) = (1 3 2) ; (1 2)(2 3) = (1 2 3)
Es decir, los resultados son distintos; el producto no es conmutable. Podemos decir entonces que Sn, con n igual o superior a 3, no es abeliano puesto que podemos tomar dos ciclos que se corresponden con elementos de S3 que no conmutan.
Estudiemos ahora los grupos alternados.
A1 = {I} → abeliano

A2 = {I , (1 2)} → abeliano

A3 = {I , (1 2 3) , (1 3 2)} ; (1 2 3)(1 3 2) = I → abeliano

A4 = {I , (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}
Vamos a considerar dos elementos del conjunto anterior para desarrollar el producto de ciclos entre ellos:
(1 4 2)(1 2 3) = (2 3 4) ; (1 2 3)(1 4 2) = (1 4 3)
Puesto que los productos no conmutan deducimos que A4 no es abeliano.
Deducimos de lo anterior que An es no abeliano para n mayor o igual que 4, puesto que cualquier grupo An contendrá los elementos considerados en el ejemplo anterior.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás