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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 9

Para expresar un producto de permutaciones como producto de ciclos disjuntos, se comienza operando por los elementos de la derecha y se coloca primero el elemento 1; si no está el 2, etc. , y se opera con él. A continuación se opera con su imagen y así sucesivamente hasta llegar a un elemento que se transforme en otro con el que hayamos operado anteriormente:
    \(\begin{array}{l} ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)( 1 \; \; 5 \; \; 6)(2 \; \; 4 \; \; 6) = \\  \\ = ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)(1 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 2 \; \; 4) = (2 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 3 \; \; 4) \end{array}\)
En caso de duda resulta fácil operar en la forma:
    \( \begin{array}{l} ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)(1 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 2 \; \; 4) = \\  \\ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 6 & 2 \end{pmatrix} = (\ast) \\  \\ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 6 & 3 \end{pmatrix} = ( 2 \; \; 5 \; \; 6 \; \; 3 \; \; 4) \end{array}\)

    \( \)
Donde hemos hecho: En la segunda matriz a la izquierda de (*) , el elemento 1 tiene debajo el elemento 5; en la primera matriz a la izquierda de (*) , el elemento 5 tiene debajo el elemento 1; por lo tanto, el resultado final para el elemento 1 es el elemento 1. Del mismo modo, el elemento 2 de la matriz derecha pasa al elemento 4 y el elemento 4 de la matriz izquierda pasa al elemento 5; por lo tanto, el resultado final para el elemento 2 es el elemento 5. Así sucesivamente.

Para los otros ejemplos tenemos los resultados de los respectivos productos son :
    \(( 2 \; \; 4 \; \; 3 \; \; 5) \; \; ; \; \; ( 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás